SANS DEUXIÈME MEMBRE
382. Théorèmes généraux. Forme de Vintégrale générale. — l'ne équation diUérentielle linéaire sans deuxième membre
s'en il avec la notation précédente
Théorème I. — Soient ij^, //j, ..., //^ des solutions de cette éqnatioti, cest-à'dire des fonctions de x, telles que
la fonction
oii C„ Co,..., C^ sont des constantes quelconques^ est encore une solution.
On a, en eflet,
e'est-à-dire
ce qui démontre le théorème
383. Remahqie. Solutions distinctes. Fonctions linéairement indépendantes. — Soit //j, une solution de l'équation ; une deuxième solution i/^ est dite distincte de i/^j si elle n'est pas de la forme %,. où k est une constante déterminée. Si les deux
6i8 COURS D'ANALYSE
solutions //j et y.^ sont distinctes, une troisième solution y^ est dite distincte des deux premières, si elle n'est pas de la forme :
Âj et A.J étant des constantes. Si les trois solutions yi, y^, y^sonX distinctes, une quatrième y^ est dite distincte de ces trois, quand elle n'est pas de la forme :
/^■lZ/lH-%2+%3'
k^y k^,k^ étant des constantes.
En général, p solutions.
sont dites distinctes , quand la deuxième y^ est distincte de la première, la troisième y^ des deux premières, la quatrième y^ des trois premières, etc.
On dit ausssi, pour exprimer le même fait, que les/? solutions sont lin éa ire m en t in dépen da n tes .
Ainsi les solutions
e'', sin-.r, cos^r,
sont distinctes ou linéairement indépendantes ; il est impossible de trouver des constantes numériques, telles que l'on ait identiquement :
sinlr = Ac"^, ou cos- r = k^e^ -\- k., sin^ ^.
Les solutions
!/t = cos2:f, y.^ = cos-.r,//3 = sin^t-,
ne sont pas distinctes : la deuxième est distincte de la première, mais la troisième, pouvant s'exprimer en fonction linéaire et homogène des deux premières, avec des coefficients constants,
sin^.r = cos'^.i- — cos2./:, ou
n'est pas distincte des deux premières.
/. (ji i j i(j \ s 1)1 1 1 ]. iii:\ Il Kf.i.Ks i.iy i: uni: s 619
384. Théorème II. Inlci^riilf i^/'/tcrtilr. — S/ l'on a trouvé n soin lions dis lincU -s
!lr!li //.'
(le nujiKa'ntn (niJcrcnlicUc, celte ('(judtion a (ni cl l'intégrale
«//// ('.s7 Vintciirale générale.
Va\ efl'et, cette intégrale contient n constantes arbitraires C,, C^, ..., C„, que l'on peut déterminer par la condition que, pour une valeur particulière w^ de x, la fonction (2) et ses [n — 1) premières dérivées prennent des valeurs arbitrairement choisies, ce qui caractérise l'intégrale générale (N* 378).
Si les solutions //p y^,..-, ijn n'étaient pas distinctes, l'expression (2) ne contiendrait qu'en apparence n constantes : par exemple, supposons que //,,ne soit pas distincte de l/ifl/iy-^l/n-i ; il existerait alors des constantes numériques k^, A.,,... ,A„i, telles que :
et l'expression (2) deviendrait
y ^ (c, + ^,c;,; //, + (c, -h kA:,:)i/, 4- ... --h (c,. , + K ,c„) y„ , ,
expression de la forme
// = I^i//i + ^>U> -f- •• . H- ^n- iVn- 1,
contenant seulement n — 1 constantes arbitraires.
On démontre, mais nous n'insisterons pas sur cette démonstration, qu'une équation différentielle linéaire n'a pas d'intégrale singulière : toutes les solutions possibles de l'équation sont données par l'intégrale générale (2;.
385. Abaissement de V ordre de F équation, quand une solution est connue. — De même que Ton peut abaisser le degré d'une équation algébrique, quand on en connaît une racine, de même, on peut abaisser l'ordre d'une équation différentielle
linéaire, sans second membre, quand on en connaît une solution. Soit, par exemple, l'équation du troisième ordre :
/o\ d^y (^^f/ dy
(3) ''^-i^+'''ii^+"^~à+-^y=''-
Soit II une fonction de //•, supposée connue et vérifiant l'équation, c'est-à-dire telle que :
... d^ii (Pu du ^
Faisons alors le changement de fonction
Y étant la nouvelle fonction inconnue ; il vient
dy (lY ^^ du
dx dx dx
àhj ^^ d'Y ^ dY du dhi
dx- dx^ dx dx dx'
d'y ^^Y d'Y du dY d'u ^ d'u
dx' dx' dx' dx dx dx' dx'
Si l'on substitue dans l'équation (3), on voit qu'elle se transforme en une équation linéaire en Y, dans laquelle le coeflicient de Y est le premier membre de (4), c'est-à-dire 0.
On a donc, pour déterminer Y, une équation de la forme
d'Y , , d'Y . dY „ dx^ * dx- dx
En prenant alors pour inconnue
on est ramené à l'équation du deuxième ordre Le théorème est donc démontré.
ÉQi'A I roys DIllËRESTIELLESLiyÈAIliES 621
On voit coniincnt y s'exprime en fonction de Y' : la relation (5) donne
Y =j\'dx,
puis, comme on a posé ;y=/A', on a
y = nfvjj:
Donc, si on sait intégrer l'équation du deuxième ordre (6), on en déduira l'intégrale générale de l'équation proposée (3) par une quadrature.
Inversement, Y' s'exprime en fonction de y par la formule :
.jM.
dx
qui montre que la connaissance d'une solution de l'équation en y entraîne la connaissance d'une solution de l'équation en Y'.
Si, outre la solution y^=iij on connaît une autre solution y^=zy^ de l'équation proposée, on en déduit une solution
ails-)
^ dx
de l'équation (G). On peut alors, par le même procédé, abaisser encore d'une unité l'ordre de l'équation enY^; et ainsi de suite.
Exemple. — Nous avons trouvé (N" 374) que l'équation
dx
admet la solution
Supposons qu'on ait constaté ce fait, on peut alors abaisser l'ordre d'une unité, en posant
622 COURS D'AAALYSK
Substituant dans l'équation donnéo, on voit (jue le coeHicient de Y est nul et on a l'équation
a:v' dx
qu'on réduit au premier ordre en faisant
On est donc ramené, après suppression du facteur c^ - , à intégrer l'équation du premier ordre
d:i On en tire
:rda-, log Y'-:^ r. f-logC^
On en déduit
Y ^jrdx ^ cfe "^ d.r -+- C,, C, étant une nouvelle constante et, par suite,
y = e~ Y = ^e' fe~ ^ d.v + C^cT Telle est l'intégrale générale de l'équation (7).
