III. — ÉQUATIONS A COEFFICIENTS CONSTANTS SANS DEUXIÈME MEMBRE
386 Méthode générale. — Considérons une équation
d"i/ d"~ 'jy
où les coefficients «'y, «,,...,«„ sont des constantes. dette équation
ÉQUATIOSS LINÉAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS ôii
peut toujours être intégrée, par la méthode suivante. On cherche d'abord des solutions particulières de la forme
/• désignant une constante. On a
dy
Donc, en substituant dans le premier membre de l'équation,
Le résultat de la substitution est donc égal à e", multiplié par un polvnôme de degré n en /•, que nous appellerons } (r) :
D'où, sous forme abrégée,
Pour que e" soit une solution de Féquation différentielle, il faut et il suffit que '^ (e'^) soit nul, c'est-à-dire que /• soit une racine du polynôme '}(/). Le polynôme <{/ (/) a, en général, /î racines dislinc/es f\, f\,..., r,^. A chaque racine, correspond une solution e" de l'équation : on a ainsi les u solutions particulières
d'où on déduit V intégrale générale
y = C,e'-.^+ C,ev + ... -f- C„eV, avec n constantes arbitraires Cp C^,..., C„.
387. Exemples. Premier exemple. — Soit à intégrer l'équation du deuxième ordre :
624 coins D'AiXALlSE
cette équation est linéaire, à coefficients consUmls sans deuxième membre : essayons de la vérifier à l'aide de la lonclion
d'où
dx " ' dx' —"■ • Ou a donc, en substituant,
dans cet exemple, le polynôme ^[f) est H — 4.
Pour que l'équation différentielle soit vérifiée par c'''\ il faut et il suffit que l'on ait
c'est-à-dire
 ou r
On a ainsi les deux solutions
d'où on déduit l'intégrale générale
avec deux constantes arbitraires. On peut déterminer ces constantes de telle façon que, pour x=^x^, la fonction ij '8) et sa
dérivée -j- prennent des valeurs données à l'avance : c'est ce
qu'il est aisé de vérifier.
Deuxième exemple. — Soit l'éijuation
Faisant
on a
^"(/•' -h 4)^0, d'où
/•:quatio:\s LiyKAini:s a coi: rric n:\TS co.\s / t \ / s f, •; On a donc les deux solutions
d'où rint(''gr»le générale
avec deux constantes arbitraires C^ et C^. Cette forinc de l'intégrale générale est compliquée d'imaginaires ; on les fera disparaître en prenant, pour C, et C^, des constantes arbitraires imaginaires conjuguées. En efl'et, d'après l'identité d'Kuler ;N" 108,.
e'^ = cos z -j- i sin ?, on a
e^'' = cos 2x -\- i sin 2.r, e~^'^ = cos 2jc — / sin 2.r ,
d'où, en remplaçant dans (9),
y = (Cj -]- C J cos 2.r -|- / (Cj — CJ sin 2.r ;
on prend alors C^ et C^ de telle façon que les coellicients de cos 2x et sin 2jc soient des constantes arbitraires réelles A et B
et l'expression de l'intégrale générale devient
y z=z K cos 2x -{- B sin 2^-,
avec deux constantes A et B.
Troisième exemple. Galvanomètre. — Dans la théorie du galvanomètre, on rencontre l'équation
où a et p sont des constantes réelles, 9 un angle inconnu, / la variable indépendante. Cette équation est linéaire, à coellicients constants, sans deuxième membre. Si nous essayons de la vérifier en prenant
APPELL. Analyse. 4«»
nous obtenons la condition
cette équation a pour racines
r^=— a4-Va2— (3% /•, = — a — V^a^ — p% et l'intégrale générale est
(10) - e=c,6>v + c,ev.
Discussion. — Quand a- — i^">0, i\ et r^ sont réels, l'intégrale générale se présente sous forme réelle.
Quand cf} — [i^ est négatif, /■, et i\ sont imaginaires : pour faire disparaître les imaginaires, posons
Alors
Remplaçant e''* et e~'^' par cosy/-}-/ siny/ et cosy^ — i siny/, on a :
e = e-«' [(C, 4- C,) cos y/ + / (C^ — C,) sin y/],
et, en prenant pour C^ et C^ des constantes imaginaires conjuguées, on a, finalement,
8 = e~«' (A cos y/ -f- B sin yt).
Quatrième exemple. — Soit enfin l'équation différentielle :
Faisant on a
équation qui a pour racines
ÉQUATIONS I.IM: AIRES A i i) E F I I i I E M S COySTASTS Oi;
L'équalion ilillt reutielle admet donc les trois solutions :
d'où l'intégrale générale
Si Ton veut faire disparaître les imaginaires, on se sert des identités
^ix\i :==:cos ^V^ + f sin X \/3,
g-îx V A = cos X v^3 — i sin x v/3 .
L'intégrale générale prend alors la forme :
y = C^e^ + (?~^ (A cos x \/3 + B sin x \/3j , avec trois constantes arbitraires A, B, Cj.
388. Cas où le polynôme 'l (/) a des racines multiples. — En appelant z^, /*.,,..., ;„, les n racines du polynôme 4'(')j i^ous avons obtenu les n solutions
avec lesquelles nous avons construit l'intégrale générale de l'équation différentielle.
Si l'équation ^[i')=0 admet des racines égales, les « solutions ci-dessus ne sont plus distinctes : par exemple, si /•j = /-j, la deuxième solution est identique à la première.
Dans ce cas, on ne peut donc plus appliquer la méthode précédente, pour former l'intégrale générale. Mais nous allons montrer comment on peut encore, dans ce cas, obtenir n solutions distinctes.
Pour cela, nous démontrerons le théorème suivant :
Si i\ est une racine double de '}(/•), V équation dilfsrentieUe admet les deux solutions e'»'' et x e'»^;
Si i\ est une racine triple de ^ (/) Véquation différentielle admet les trois solutions &'^'', xe'^'', .A"»^; et ainsi de suite.
Si r^ est racine d'ordre p de 4^ (') -, Véquation différentielle admet les p solutions &''% xe'''"". .rV'' r^'-* ft''«'^.
6i8 COURS D'ANALYSE
La démonstration de ce théorème se déduit de la remarque suivante. Soit r une fonction de x et d'une autre variable r : en substituant v dans le premier membre '^ [y] de l'équation différentielle, on a un certain résultat
si, ensuite, on substitue, dans le premier membre de la même
équation la fonction ^^ — , on a or
Ces deux expressions montrent que
Kn effet, comme on peut intervertir l'ordre des dérivées partielles, on peut écrire
ce qui démontre l'identité (11). En appliquant deux fois de suite cette même identité, on a
et, en général,
Voici maintenant l'application de cette remarque au problème qui nous occupe. Prenons
d'où
i:Qr.i/ii).\s i.i.m: Miii:s A < OKiric/i:.\js co.\sta.\is r,jL<, On 11, ijuels que soient x et /•, les identités
OÙ le dernier terme de chaque ligne est la dérivée, par rapport à r, du dernier terme de la ligne précédente.
Supposons que j\ soit une racine double de ^ (/•) , on a
•;('•,) =0, fW=o.
Les deux premières des identités (12), où on remplace /par /\, montrent qu'alors
réqualion admet donc bien les deux solutions e'«^, j^e'*»'.
Supposons que r\ soit racine triple, c'est-à-dire annule '^ (/} et ses deux premières dérivées
lW = o. •!'('•;; =0, ■}"(/•,) = 0.
Les trois premières identités (12), où on remplace /• par /•,, montrent qu'alors
'^ (e'-*^) = 0, 'f (.re'-«^) =0, z> (.r^e"»') = 0 ;
l'équation admet donc bien les trois solutions e''*', jce''*'^, j:*e^*^. Et ainsi de suite
En résumé, chaque racine de '} (/) donne un nombre de solutions distinctes, égal à son degré de multiplicité : on aura donc, dans tous les cas, n solutions distinctes //,» /A, -m Z^n» ^^'^^ ^^^' ([uelles on formera l'intégrale générale par la formule
63o COURS D'ANALYSE
389. Exemples. — Premier exemple: équation du gahanometre. — Reprenons l'équation
ivw ^'^ a- 9, ''^ ^»'fl n
faisant B = e''' on a ici
Nous avons supposé, antérieurement, les deux racines de '\ (/•) distinctes : supposons maintenant qu'on ait ^ = y} ; alors •} (/) a une racine double
dans ce cas, l'équation admet donc les deux solutions ou
et l'intégrale générale est
(14) e = C^e-'''-hCVe-«'.
Remarque. — C'est d'ailleurs un résultat, que l'on pourrait déduire par continuité du cas général, en supposant que les deux racines, i\ et /.,, d'abord distinctes, tendent l'une vers l'autre. Ainsi, en posant p" — a" = y^ nous avons trouvé [S^ 387) pour intégrale générale de l'équation (13)
B = e ~ *" ( A cosy^ + B sin y/) ,
où A et B sont des constantes arbitraires : nous pouvons remplacer B par — , C étant une constante arbitraire; nous mettrons donc l'intégrale générale sous la forme :
ô=:6'-«^/^Acosy/-f-C^^^^V
A et c étant deux constantes arbitraires. Pour rendre les racines
ÉQUATIOSS I.I.\EAinES A COEFFICIESTS COSSrASTS 63i
sin v/ égales, il suffit de faire tendre y vers zéro ; alors ^ tend vers /
et l'intégrale devient
c'est bien la forme (14), que nous avons obtenue par l'application des règles générales.
Deuxième exemple. — Soit l'équation
dx^ dx- dx
Faisant
on a
Le polynôme '{/(/•) est donc ici (/• — 1)^ : il admet la racine triple /•= 1. Il en résulte les trois solutions
e^^y xe^y x-e^y
et l'intégrale générale
ij = C^e^ -h C,.re^ + C^-r-e" .
Troisième exemple. — Soit l'équation
Faisant y = e''''y on est conduit à l'équation
qui admet /•=« comme racine double et r = — i comme racine double. Il en résulte les quatre solutions
e'% xe'% e-'^ xe-'%
pt l'intégrale générale
ou
Pour lairo disparaître les imaginaires, on fera :
e"'"^ = cos j; — i sin ^,
on remplacera C>j et C3 par deux constantes imaginaires conjuguées, C, et C^ également, et on aura l'intégrale générale
y = A cosx-|- B sin X -\- x[k^ cos j:-|-B, sin x).
