EXEMPLES

390. Théorème. — Soit une équation difjérentielle linéaire ai^ec deuxième membre

0//, sous for /ne abrégée^

si l'on connaît une intégrale particulière de cette équation^ on peut ramener son intégration à l'intégration de la même équation sans second membre.

Kn effet, supposons qu'on connaisse une fonction particulière // vérifiant l'écjuation, c'est-à-dire telle que

prenons une nouvelle fonction inconnue Y liée à y par la relation :16) y = Y + H.

KQUATIOy S L IMJAI ItK S AVEC DELAI A M A M A M li li E 0 J J

L'équation (15) devient

ï,(Y-|-h) = X; or

on a donc l'équation :

■fm + 'f('')=x,

et comme par hypothèse '^ (//) = X, il reste

La fonction Y satisfait donc à la même équation sans second membre. Si l'on sait intégrer cette équation (17), on trouvera, pour son intégrale générale, une expression de la forme

Kn revenant à la fonction // par la formule /^ = Y -[-//, on a alors, pour l'intégrale générale de l'équation donnée (15)

Il = C,Y, H- C J, + . . . H- (:,Y„ + //,

avec n constantes arbitraires C,, C^, — , C„.

Exemple. — Soit l'équation

on vérifie immédiatement que la fonction

est une solution de l'équation. Faisant alors

on obtient, pour déterminer Y, l'équation sans deuxième membre

dont l'intégrale générale est

Y = C, cos X -\- C^ sin x. L'intégrale générale de l'équation proposée (18) est donc

ij = C^ cos^-f- C^ sin X -\ — :j-e^.