Premier cas. Le deuxième membre est un polynôme

— Si on a une équation à coefficients constants, de la forme :

où le deuxième membre est un polynôme P(-^') de degré /^, il existe une solution particulière u de cette équation, qui est un polynôme en x de degré égal ou supérieur à p.

En effet, supposons d'abord <?,, diilerent de zéro : si on substitue, dans l'équation, un polynôme u de degré />, à coefficients indéterminés

on voit que le premier membre devient un polynôme de degré/? : on identifie ce polynôme avec P(.^), en déterminant convenablement \,\,....\,.

Si rt„ est nul, â'„i étant différent de zéro, c'est un polynôme de degré p-\-i qu'il faut essayer ; et ainsi de suite.

KQUArioss i.i.m: AI Hi:s avkc deimeme membre Gr> Exemple I. — Soil réquatioii :

(il-

i/=y--hi.

Le deuxième membre étant un polynôme Je degré 2, essayons de vérifier l'équation par un polynôme

Ecrivant que l'on a identiquement :

dx on a

2\ - {ly + \x + 12 = ^'^ + 1 ,

ce qui exige

On a donc la solution particulière

Faisant alors

on est ramené à l'équation, sans deuxième membre,

(Lv qui a pour intégrale générale

Donc la proposée a pour intégrale générale

Exemple II. — Soit l'équation

dx' "^ dv ' '

On voit qu'en substituant, clans le premier membre, un polynôme du quatrième degré, le résultat serait du troisième degré seulement : substituons alors un polynôme du cinquième degré

on écrivant que ce polynôme vérifie identiquement la relation

a^u du

on a

d'où

Le coefficient A^ peut être pris arbitrairement ; comme, pour le moment, il s'agit seulement de trouver une solution de l'équaiion, nous prendrons

Nous avons ainsi la solution

o Faisant alors

on a, pour déterminer Y, l'écjuation sans deuxième membre,

cU' "^ d.v ^

Faisant Y -^^&'^, on a à résoudre récjuation

dont les racines sont

KQli rioys LISEAIRES AVEC DECXIÈME M E M li H E C, 1;

On en conclut les trois solutions

et riiit<'<4^rale générale

Y= Cj + Acos.r-|-Bsin.r.

L'équation donnée en y a donc pour intégrale générale

y = C, -h A cos.r -f- B sin.r -| ^— .r^ — 4.r' -j- 24 x.

Remarquk. — On pourrait aussi, dans l'équation que nous venons de traiter,

d'y , du ,

dx' "^ iiv ~ ' prendre pour inconnue

du ..

dx ~~^' on aurait alors ii intégrer l'équation du deuxième ordre

Une fois r trouvé, on en conclut y par une quadrature

y =f'dA\

393. Deuxième cas. — Le second membre est une exponentielle Ae'^^, où A et a sont des constantes. Dans ce cas, l'équation est de la forme

(19) ?(y) = Ae-.

En général, on pourra obtenir une solution de la forme

X étant une constante à déterminer.

En effet, écrivant que u vérifie l'équation, on a :

(20) Âcp((?«^) = Ae«^

Mais, nous avons posé, quel que soit /*,

on a donc, en remplaçant /• par «,

et la condition (20) donne

On a donc ainsi la solution

Cas cV exception. — Le calcul précédent serait en, défaut, si a était une racine du polynôme (]/(/•), car, dans ce cas, cp(Ae"^) serait nul, quel que soit ).. Voici comment on obtient alors une solution :

Si a est racine simple de 4'(/), l'équation admet une solution de la forme l^re'^^ ;

Si a est racine double de tj>(/), l'équation, avec deuxième membre admet une solution de la forme )a-^e"^ ;

Et si a est racine d'ordre y;, l'équation avec deuxième membre admet une solution de la forme ')a-''e"^ .

C'est ce qu'on voit immédiatement en se servant des identités établies plus haut (N*' 388)

cp(e-)==:e -,!.(/•),

, 'f(.rO=^^ni^^M+^-+W]'

V ) ^ '^(xV^)=:e-[fX/-)4-2:r1.'(r)+^^+(/-)],

K Q UA fin \ s L 1 V / \IRES AVEC D F I .\ I /. M E M E M li H E 639

Supposons que a soit racine simple de ^ /'j ; alors '}(fl) = 0, •V (rt) étant diilerent de zéro. On a donc, en essayant de vérifier l'équation par

Mais, d'après la deuxième des identités, On a donc

f (.) ' on obtient ainsi la solution

Si a est racine double de 'l (/) on a,

essayant la solution

on a

A(p(.rV^) = Ae'^', d'où, d'après la troisième des identités (21),

on obtient ainsi la solution

Et ainsi de suite.

64o COURS D'ANALYSE

En général, si a est racine d'ordre p de '}(/), l'équation sans deuxième membre admet les p intégrales e"^, xe^^, ...,a:''~* e"^, et l'équation, avec le deuxième membre Ae'^, admet l'intégrale

Exemple I. — Soit l'équation

le polynôme '^ (/•) est ici :

ses racines sont 1 et 2. La deuxième membre contient l'exponentielle e^^ ; comme 3 n'est pas racine de <l/('), l'équation admet une solution de la forme :

en substituant, on trouve, après réduction,

On a donc la solution

Faisant alors on est ramené à Téquation sans deuxième membre

dont l'intégrale générale est

L'intégrale générale de la proposée est donc

i:qvAi 10 y s 1. 1 y /■: aihe s a v e c de uxi k m e m e m n u i: c» i i Exemple II. — Soit réquation ;

où le jn('mi< r incmbie est le même ([ue clans l'exemple ï. Le deuxiènie nicinhic est e^ et le coenicient 1 de .r est racine simple de K/). L'équation admet donc une solution de la forme

ti=\.ve^.

(^'est ce qu'on vérifiera directement : la valeur de A est

L'intégrale générale de l'équation (22^ est alors ij ^= C^e' -j- C.,e-' — j'e^.

394. Cas général où le deuxième membre est un polynôme P (.r y suivi d'une somme d'exponentielles . -r- Soit maintenant une équation de la lorme

( 23) 'f » = P U) -h Ae''^ H- Be'' + . . . H- Le'^

Pour trouver une solution particulière n de cette équation, on détermine d'abord des l'onctions //,, //^ , /'a, •••, ''^o vérifiant les

relations

'^{n,j=.Ae'^%

On sait trouver ces ronctions, d'après les deux cas précédents : //, est un polynôme, ii.,,ti^, .... ii^, des exponentielles multipliées ou non par des puissances de .r suivant que a, b, ..,/ sont ou non des racines de 'h (r).

Une fois //,, //^ ..., u^, trouvées, l'équation proposée (23; admet

la solution

?/ = //^ + //.^+... + Uj,.

APPELL. Analyse. ^*

Oïl a, en effet (N*» 381),

o [u) = P (.r) + Ke"' -\-^e^^-\-...-\- Le'\

Ayant trouvé u, on pose

et on est ramené h l'équation sans deuxième membre

cp(Y) = 0.

Exemple. — Soit l'équation

(24) i|.+y=2.r + cos.r.