Comme cos .r = -y- e'^ + -^ e '^, on peut écrire

ce qui rentre bien clans le type précédent. On cherche alors des fonctions particulières //j, ?/^, 7/3 vérifiant respectivement les trois relations.

d'il.

dx'

dx'' ' - 2

On obtient une fonction //,, remplissant la première condition, en essayant un polynôme du premier degré ; on trouve ainsi :

Wj = 2.r.

On obtient une fonction u, vérifiant la deuxième relation, en remarquant aue le deuxième membre

ÉQUATioxs li.\/:aii{Es avec devxièmi mi: m hue fin

est de la forme Ae*"^, où a =^i est racine simple de "^ (/•)== r*-!-! on peut donc prendre pour ii^ une expression de la forme

en substituant, on trouve

d'où

Pour vérifier la troisième relation, on peut, de même, prendre

L'équation proposée (24) admet alors la solution Il = it^ H- u.^ H- u^ = 2.r + -^.r((^''^— e~'') = 2x-^^x sin j-. Faisant, alors,

on est ramené à l'équation sans deuxième membre

dont l'intégrale générale est

Y = C^ cos.r-(- C, sin.r.

L'intégrale générale de l'équation proposée est donc

7/ =: C, cosx H- C, sin.r + 2.r + -j-r sm .r.