Méthode. — Soient deux équations de la forme

définissant les deux (onctions inconnues // et 3 de la variable indépendante .v.

On peut ramener l'intégration de ce système à rini<''oration d'une équation du deuxième ordre. Kn effet, déiivons la première équation pai* rapport à .r, en y regardant // et z comme fonctions (\q .r : il vient

d'f/ OF dV (In OF dz

d.i^ ^x 0// d.v Or dx

ÉquATioss siMii. I A.\ I, i:s DU PREMir.n onDHi-: (ii

Si, entre les trois équations (1) et (2 on «limiiie :: et— 7^

on obtient une équation différentielle du deuxième ordre,

définissant y en fonction de .r. Soit

l'intégrale générale de cette équation : cette intégrale étant supposée trouvée, on obtient également - en fonction de .r, C, etC^ sans aucune infégration, en faisant seulement des calculs algébriques. En effet, si dans la première des équations (1), on remplace 1/ par son expression, on obtient vme relation contenant uniquement .r, -, C^ et C, : en la résolvant par rapport à r, on a

avec les deux mêmes constantes C, et C.,.

397. Interprétation géométrique. — Si on regarde J, y, comme les coordonnées d'un point M de l'espace, on sait que le lieu des points, pour lesquels 1/ et - sont des fonctions déterminées de .r, est une courbe dans l'espace; d'autre part, les coeffi»cients directeurs de la tangente à une courbe gauche au point

(.r,2/,?) sont proportionnels à (Lr^dt/^clz, ou à i, .' > -7-7- Intégrer les équations différentielles (1), c'est donc chercher des courbes gauches telles que la tangente au point, (.r, //,-), à une de ces courbes ait ses coefficients directeurs proportionnels à

1, F{jr,i/,z\ F,;.r,7/,3;,

c'est-à-dire ait pour équations :

L'intégration des équations (1) donne les. équations de ces lourbes sous forme finie :

avec deux constantes arbitraires.

Par un point donné :v^, y^, z^ de l'espace, il passe une de ces courbes, car on peut toujours déterminer C^ et C, par la condition que les deux équations (3) soient vérifiées, quand on y remplace