Exemple. — Soit à intégrer les équations

dx -^ ' ^ ' -' ci Dérivons la première par rapport à x :

d'y ^ ^ j dy dz

dx^ dx "^ dx

Entre ces trois équations, éliminons z et— 7— ; la première donne

^~ 2 dx 2 -^ 2 ^' portant cette expression de z dans la deuxième, on a

dx ~ 2 "^"^ 2^"^ 2 dx' enfin, en portanc cette expression de —7^ dans la troisième, on a

équation du deuxième ordre en y. Cette équation s'écrit

iV 2^3i,= l+.r.

dx^ dx -^

ÉQUATIONS SIMLLJAyÉKS DL P H K M I E H ORDIIE t>i:

C'est une équation linéaire, à coedicients constants, avec (huxirnH membre. Elle admet la solution particulière

par la substitution

elle devient

dx- dx

équation qui admet les deux intégrales particulières

et dont l'intégrale générale est

L'intégrale générale de l'équation en \j est donc

y = C^e-'^-hC^"- — -^ g-

Pour avoir z, il suflit de le tirer de la première équation qui

donne :

i df/ 1 1

ou, en remplaçant tj par son expression et réduisant,

On a ainsi les expressions générales de z et f/y avec deux constantes arbitraires C, et C^.

399. Application. Lignes de force. — Imaginons une loi de force telle que, sur l'unité de masse, placée en un point quelconque M (.r, //, -), agisse une force F (fig. 206), dépendant uniquement de la position du point M. On a alors ce qu'on appelle un champ de forces : les projections F,, F„ F- de la force F agis-

siuit en iiii point M Çx-,7j,.z^ du champ, sont des fonctions supposées connues des coordonnées du point :

On appelle lii^-ncs de force les courbes telles que, en chacun de leurs points M, elles admettent comme tangente la force agisp sant en ce point. Cdierchons les équations différentielles de ces lignes.

Les équations de la tangente ii une courbe, au point .r, y, -, sont

d,v dij dz

Cette tangente devant se confondre avec le segment de droite F de projections F,, F,^, F., on doit avoir

Telles sont les équations différentielles des lignes de force. Kn prenant .r comme vari^d>le indépendante, on peut les écrire

dy cp(.>t;,//,c) dz ^[x,y,z)

Ce sont bien des équations de la forme (F traitées dans le N** 396. En les intégrant, on obtient les équations des lignes de force avec deux paramètres C^ et C'^.

400. AuTHE EXEMPLE. Trajectoîres orthogonales d'une famille de surfaces à un paramètre. — Soit

Féquation d'une famille de surfaces dépendant d'un paranuLi-e a: nous supposerons, pour plus de simplicité, cette équation résolue

j:Qi'A j i().\.s si Mr L I A .\ i: Es Dr rurMiiH oitDi:!., Ci.,

pur rapport à ).. Quand on fait v;iiiiM a, la siiilacr \ {liaiig*de forme et de position, de telle façon qu'il passe une de ces surfaces par un point quelconcpie de l'espace J'y, //„, ::„, choisi dans la portion de l'espace, où la fonction /'.r, i/, r^ existe, lin efl'et, on peut toujours déterminer A de façon que l'équation (4 soit vériliée quand on y fait x .=z x^^ i/ = i/^^^ r.== z^.

Nous voulons trouver les courbes qui coupent ces surfaces ii angle droit, c'est-à-dire les courbes telles ipie la tangente en chacun de leurs points M (.r, ?/, r coïncide avec la normale ii celle des surfaces (4 qui passe par ce point.

Les équations de la tangente à une courbe sont

ihv dij dz '

celles de la normale au même point a\!/,' à la surface '-\ sont X— f ^ Y — // __ L—z (>.r 0// d".

Ces deux droites devant coïncider, on a les conditions djc dji dz

djc 0// Or

([ui sont les équations dilïerentielles des courbes cherchées. Comme— ^, -^, -^ sont connus en fonctions de .r,//, -, ces

équations, où on prend .r comme variable indépendante, sont de la forme (1 .

En les intégrant, on obtient les équations des trajectoires orthogonales demandées, avec deux constantes arbitraires C, et (.^.

On peut remarquer que ces courbes sont les lignes de force, correspondant ii une loi de force F, dont les projections seraient

^^ = TF' *''""0//' - àz

65o COURS D'ANALYSE

On dit alors que la Torce F (lèrU>e cVuiie fonction de forces /*(^% l/f '); les surfaces

s'appellent les suj- faces de nweau.

Exemple. — Trouver les trajectoires orthogonales des paraboloïdes

où A est un paramètre variable.

Les courbes cherchées ont pour équations différentielles :

c/.r yd dz

car ICI

Egalant chacun des deux premiers rapports au dernier, on a les deux équations

xdx -\- zdz = 0, ydij + zdz = 0, qui s'intègrent immédiatement et donnent

On a ainsi les équations des courbes cherchées, avec les deux constantes C, et C^, On voit que ces courbes peuvent être regardées comme l'intersection d'un cylindre de révolution, de rayon quelconque, autour de Oy

avec un cylindre de révolution autour de O.v

EQL'ATiuy ^ s/.i/r/. 7 j.v/;/;.s m riii:Mii:n ordre 65 i

II - SYSTÈME DE n ÉQUATIONS SIMULTANÉES DU PREMIER ORDRE A 71 FONCTIONS INCONNUES

401. Méthode générale. — Soient n équations simultanées du premier ordre

définissant n inconnues ^/^, ?/^,..., y« en fonction de jc.

Nous allons voir que les intégrales générales de ce système sont de la forme

avec n constantes arbitraires C^, C^,... Q.

Pour cela, nous montrerons que l'intégration du système (5) se ramène à l'intégration d'une équation différentielle d'ordre /?, suivie d'opérations algébriques.

En efFet, dérivons la première équation par rapport à x, en nous rappelant que J/i,!/.,^.--, f/n sont fonctions de w. Il vient

SI, dans cette équation, on remplace les dérivées—^ — > , " ? •*••

—^ du deuxième membre par leurs valeurs (5), on a, pour , ^y une expression contenant uniquement a', l/i^ !/,,"", î/n •

«iV> COURS D'AXALYSE

Dérivant de nouveau cette équation par rapport ;i r. il vient

d^ij^ OG., 0(i., r///, ôG., d//^

d.r^ Or O/y, r/.r * 0//,, <;/./•

<-///, <'///, du,, - , /^x

et, en remplaçant —~ , — 'j^ , ..- — ^ — par leurs valeurs d , on a

On continue ainsi, de proche en proche, jusqu'à

d.i On a ainsi le tableau suivant

-J^=^'n:''^UrUz Un)'

Si. entie ces n équations, on élimine les n — 1 inconnues //,, //.. , //„, on obtient une relation de la forme

d'est là une équation difïerentielle d'ordre n, définissant //^ en fonction de r. En la supposant intégiée, on en tire

Les (n — Ij premières relations [y], dans lesquelles on remplace //j par cette expression, forment alors un système de n — 1 équations, à n — 1 inconnues //.,,y3, •.,//„ : la résolution de ces équations donne, par des calculs al'gébricjues, sans intégration

EQUATioss SIM [■/. r.i \/: /: s or rni mier ordre •rvi nouvelle, }lx^Ui^"--< lin ^''^ lonctum de x et des // < (>ii>i;iiit< v

Le système est ainsi intégré.

Remarque. — Il peut arriver, dans certains cas particuliers, que l'une des fonctions //j, y^,..., //„ vérifie une équation diilerentielle d'ordre moindre que n ; il figurera alors, dans l'expression de cette fonction particulière, moins de n constantes : mais il m figurera d'autres dans les expressions de //„ /Z^,..., //„, d«' lacon ii compléter le nombre n de constantes arbitraires. Kii rdri. on peut démontrer comme il suit, que, dans tous les cas, il • ninI. un système. de fonctions //,, .y,,--., //„ de .r, vérifiant le système .'> et contenant, en tout, n constantes arbitraires.

402. Intégration par séries. — Reprenons le système '5) et cherchons à Fintégrer par des séries de Mac-Laurin

«^ Cf/i^o' (.yî)oi Cyr)o'--- s^ï^* l^s valeurs que prennent //, et ses dérivées successives pour .i=0, etc.

Nous allons montrer que les coefficients de ces séries sont des fonctions des n constantes arbitraires (?/,)„, 'y.^^Q,'", '^«)«- H sulfit de le montrer pour /y, ; le raisonnement est le même pour les autres fonctions. Or, d'après le calcul du numéro précédent, les dérî-

/ ri-

vées successives -^p- , ~^ y... sont des fonctions connues de

*^'' VvUr • • ' y«' et ce calcul peut être prolongé, de proche en proche, jusqu'à une dérivée d'ordre quelconque de y,. Si, dans ces expressions des dérivées successives de //,, prolongées indéfiniment, on fait x = 0, y,= [yX'> 1/2 = il/.].^'^ Un = {!/n),. on voit que toutes ces dérivées deviennent fonctions de (y,),,, (yâ/o»-' Wo- Les coeflicients de la série, donnant y^, sont donc fonctions

des 71 constantes arbitraires (?/J^„ {!/.,)of-"i {l/n)o'f ceux des autres séries sont fonctions des mêmes constantes. Si donc ces séries sont convergentes, elles définissent un système de fonctions vérifiant les équations et contenant n constantes arbitraires.

Ce raisonnement montre que, en général , les fonctions ?/j, ?/.>,..., yn vérifiant les relations (5), sont déterminées quand on se donne les valeurs

qu'elles doivent prendre, pour une valeur déterminée .^-^ 0 de la variable.

On démontrerait, de même, en prenant des séries de Taylor procédant suivant les puissances de a: — .r„, que les intégrales des équations (5) sont déterminées, quand on connaît les valeurs qu'elles prennent pour .T==^a\.

403. Intégrales premières. — On appelle intégrale première d'un système d'équations

/5j ) -J^^^'A'''^!/i^I/v-,Un),

une équation entre la variable indépendante .r, les fonctions inconnues y^jy.y, '-^l/n et ftne constante arbitraire, qui se trouve satisfaite , en vertu des écpiations (5) , quelles que soient les valeurs initiales (//J^^, (?/,)(,, ..., (//,,)y que l'on donne aux fonctions inconnues pour :t = x^.

Une intégrale première est donc une relation de la forme

On peut toujours imaginer cette équation résolue par rapport à la constante arbitraire C et l'écrire

EQUATIOXS SIMULTASÈES DU PREMIER ORDRI. f.r.

Voici comment on peut vérifier immédiatement qu'iiin' r((ii;itloM, telle que (9), est une intégrale première. Pour que la lonctloii /'reste constante en vertu des équations (T)!, il faut et il sulUt que sa dérivée par rapport à .r, soit nulle :

sions (5),

ou, en remplaçant les dérivées—^, —'/—-n ... par leurs expres-

^^^> d.r ^ cV, ' 'V. - '\'/„

Cette dernière condition ne contient alors que .i,//,, //,,...,//„ : elle doit être vérifiée par tous les systèmes de fonctions satisfaisant aux équations (5) ; mais, comme dans l'intégration de ces équations, on peut, pour une valeur arbitraire .r„ donnée ii .r, prendre, pour ?/,, //^^.-m //«^ ^^s valeurs également arbitraires (y,)^, Wo'---' {l/n)o^ cette condition (10) doit être satisfaite quelles que soient les valeurs données ii r, y^, // .,,..., ?/„, elle doit donc être satisfaite identiquement.

Exemple. — Les équations

dx -y-y-

du.

= \l,—ll^

^Vi—Ui

dx '-'' admettent l'intégrale première

En effet, différentiant cette relation, on doit avoir

<y. . dj/. 4 j^o -dJ-^llT-^ dx -^'

f)>6 COURS DWyALYSE '

OU, en remplaçant ces dérivées par leurs expressions (H),

!fi — Hz + //a — //. 4- //, — /y, — 0,

ce qui a lieu identiquement.

J)e méme^

est une autre intéorale première de ces équations difterentielles.

404. Usage des intégrales premières. — Deux intégrales premières

sont dites distinctes, ([uand f] n'est pas une fonction de f\ : autrement, il est évident (pie les deux relations (12) se réduiraient ii une seule. 11 est clair, par exemple, ([u'écrire

puis

sin/; -^C.,

c'est exprimer un seul et même lait, à savoir que^j reste constant. Les deux intégrales premières (12) étant supposées distinctes, une troisième intégrnle. première

est dite distincte des deux premières, quand f] n'est pas une lonction de fx^^f,,'-, et ainsi de suite. Ainsi, dans l'exenq^le précédent,

sont deux intégrales premières distinctes. La relation

/:qi A rio.\s simlltaskes du premier ordre 65;

est aussi uue intégrale première de réquation (11 , comme il est aisé de le vérifier ; mais elle n'est pas ilisLincte des deux précédentes, car on a identiquement

donc le fait que

est constant, résulte des deux relations (13).

Revenons au cas général. Si on connaît une intégrale première

des équations différentielles (5), on peut simplifier l'intégration du système, en diminuant d'une unité le nombre des fonctions inconnues. En effet, on peut, de cette relation (14), tirer y„ en fonction de :i\y^,y.j,, . .,y,i, et C ; en portant cette expression de //„ dans les [n — 1) premières équations différentielles, on les transforme en un système de n — 1 équations simultanées \\ n — 1 inconnues //,,//,,..., ?/„,.

Si on connaît deux intégrales premières

fi['^>yi^y,^"->yn) = ^\y fÀ'^^yi^yv"^yn)=^'xy

on peut en tirer //„i et y,, en fonction de Jc, y^,y.,,...,y„-ij C^ et C,. En portant ces expressions de //„t et //„ dans les n — 2 piemières équations différentielles (5), on les transforme en un système de n — 2 équations simultanées à /i — 2 fonctions inconnues y^, y.^,...,y,,^ .

Et, ainsi de suite. La connaissance de chaque intégrale première nouvelle sert à abaisser d'une unité le nombre des (onctions inconnues.

Si on connaît n intégrales premières, distinctes des équations (5),

fi{^yyiyyi^'")yn)=^i^

fn{'^,yi^yr"'^y>'.

APPELL. Analyse. '*'*

le système est intégré : de ces n relations (15), on tirera 1/^,^/21" ?Z/« en fonction de :v et de n constantes arbitraires C^ C^,..., C^. Par exemple, pour le système

/il) . -i^=!J^-y-

nous avons trouvé deux intégrales premières

nous pouvons alors abaisser de deux unités le nombre des fonctions inconnues. Résolvons les équations (13) par rapport à lit et //g : nous avons

d'où on conclut facilement

[y, — y^f = ^ (^^i — yfj — (c, — y^f.

//. — //a = ^2C:— CÎ + 2C;7/^ — 3//Î.

Portant dans la première équation, on a

-^= i/2C,-qH-2C,y,-3yî,

Jl/2a-q+2C,y.-3yî '■

Cette dernière quadrature s'effectue facilement ii l'aide d'un arc sinus : on a alors y^ en fonction de j*, Cp C^, Cg, et, en remontant, on a y.^ et y^.

KQUATIOyS SIMULTANÉES D'ORDRE QUELCOyQVE 659

III. - ÉQUATIONS SIMULTANÉES D'ORDRE QUELCONQUE RÉDUCTION A UN SYSTÈME D ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE

405. Méthode générale. — Si Von a à intégrer un système de II équations simultanées d'ordres divers, à n fonctions inconnues, on le ramène à un système d'équations du premier ordre, à un noml)re plus grand de fonctions inconnues, en prenant pour inconnues auxiliaires les dérivées successives des fonctions inconnues primitives.

Exemple tiré de la mécanique. — Considérons un point matériel libre de masse m et de coordonnées r, y, z soumis à une l'orce F dépendant du temps /, de la position du mobile et de sa vitesse. On sait que les équations du mouvement sont

d-x . dru ^r d'z ,,

X, Y, Z désignant les projections de la force. Ces projections sont

des fonctions données de t,x,y,z, -%— , -j- -, -r— . Les équations

du mouvement sont donc de la forme

d-.v -, i dx dji d

dû

^, / dx du dz \

.ç.. \ dhj / dx du dz \

! d-z 1 dx di) dz \

KUes constituent un système de trois équations du deuxième ordre à trois fonctions inconnues x, y, z de la variable indépendante t.

Pour les ramener à un système d'équations du premier ordre, prenons, comme fonctions inconnues auxiliaires, les dérivées de .r, i/, z, en posant :

dx , dif , dz ,

ir='-'' ~1h-'-I' ir-'"

66o coins D' A v.i /. > </•;

Ou a. îilors, le svsh'iiH* dx

forme de six équations du premier ordie, définissant les six fonctions inconnues x, //, z,x\i/', z' , en (onction de t. Les intégrales générales de ce système sont déterminées, quand on connaît les valeurs .r„, //„, -y, .r'„. //'^,, -'j, des six fonctions inconnues, pour / = /„. Cela veut dire, au point de vue mécani(|ue, que le mouvement du point est déterminé, quand on connaît les coordonnées .r,, //„, '^ du point, à un instant initial /^, et les projections .r'„, // ,,, z\^ de sa vitesse, au même instant, b

Dans cet exemple, une intégiale première est une relation de la (orme

ii- '/,x, //, z,x',i/',.z/) = C,

entre la variable indépendante t et les six fonctions, c'est-ù-clire entre /, l<'s coordonnées du point et les projections de la vitesse. La coiiiialssance <ruiie intégrale premièie permet de lamener rintc'gration du sxsicme l\ celle d'un svslèinc de cIikj e(juations du premier ordre ;i eiiKj inconnues ; cIukjuc nouNtllt' Intégrale premii're permet tred'ectuer un abaissement dune uiiilé dans le nombj-e des inconnues.

On donne, en dyMami((ne, des théorèmes genéiaux, tels ([ue le llK'ori'MKî des forces vincs. 1e lluMH'i'ine des aires, etc., (pu permettent, dans certains cas, d Obtenir des intégrales premières.

eu APITRK XXIII

011:1 ^)n:s 1: XRMPLKS D'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PAUTIKI.LKS ÉQUATIONS DU PRK.MIKR ORDRE

406. Forme générale. — Soient :: une lonctioii des Jeux variables indépendantes r et //, p et </ les dérivées premières de z par rapport à .r et // respectivement, on appelle équation aux dérivées partielles du premier ordre, à d<Mix variables indépendantes, une équation de la forme :

il) F(.r, //,-,/>, </=().

Intégrer cette équation, c'est trouver toutes les fonctions - de r et // qui la vérifient.

Kn considérant .r,//, " comme les coordonnées d'un [loint dans l'espace, toute relation entre .r, //, 3 définit une surface, et l'on peut dire qu'il s'agit de trouver toutes les surfaces vérifiant la condition 1). On appelle ces surfaces les surfaces intégrales.

La différence essentielle, qui sépare l'intégration des équations aux dérivées partielles de l'intégration des équations différentielles à une variable indépendante, est que l'intégrale générale L'quation aux dérivées partielles du premier ordre contient

c fonclion arbitraire, tandis que l'intégrale générale d'une piation différentielle du premier ordre, aune variable indépendante, contient une constante arbitraire. Cette fonction arbitraire doit être telle qu'on puisse en disposer de façon ii faire passer la surface intégrale par une courbe donnée ii l'avance.

Par exemple, l'équation

(i nue t

admet comme intégrale générale

o étant une fonction arbitraire : toute surface définie par une relation entre z gX, x — y est une surface intégrale ; par exemple on peut prendre

^= logf.r — //), etc.

En effet, si on prend la surface

?l-^ — jy;.

on en conclut

d'où

quelle que soit la nature de la fonction 'j. Les surfaces

sont des cylindres dont les génératrices sont parallèles à la droite

On peut déterminer la fonction cp, de façon que la surface intégrale (2) passe par une courbe quelconque donnée D. 11 suffit, pour cela, de former l'équation du cylindre, ayant pour directrice la courbe D et ayant ses génératrices parallèles à la droite (3).

I. - EXEMPLES DE FORMATION DES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES DU PREMIER ORDRE

407. Objet du paragraphe . — Nous avons vu que, étant donnée une famille de courbes planes dont l'équation dépend d'une constante arbitraire, l'ordonnée d'un point d'une de ces courbes.

i.Qr.iTioys irx dkrivhes partifiies Dr pnEMir.n onuiu r, . ;

considérée comme ronction de Tabscissc, véiili<; une é(juation dilTérentielle du premier ordre (X" 355). Nous allons montrer, par des exemples, que, étant donnée une i'amille de surfaces dont l'équation dépend d'une /b/zr/Zo/i arbitraire, le r d'un point d'une de ces surfaces, considéré comme fonction des deux autres coordonnées .r et y, vérifie une équation aux dérivées partielles du preiîiH'r ordre.

Nous allons traiter successivement, à ce point de vue, les surfaces cylindriques, les surfaces coniques, les surfaces de révolution.

408. Équation aux dérivées partielles des surfaces cylindriques.— On sait qu'un cylindre est engendré par une droite G, parallèle h une direction fixe OG', s'appuyant sur une directrice donnée D(^o^. 207). Soient

az — <?.r = 0,

les équations de la droite OG' à laquelle les génératrices restent parallèles. Les équations d'une génératrice sont de la lorme

az — c.r = G,,

G, et G, désignant deux constantes arbitraires. En faisant varier Gj et G, d'une manière quelconque, on arriverait à faire passer la droite G par un point quelconque de l'espace. Mais il faut exprimer que cette droite G s'appuie sur une directrice donnée D : cette condition se traduit analytiquement par une relation entre les deux constantes arbitraires :

Pour avoir l'équation du cylindre, il faut chercher le lieu des droites (G), dont les coefTicients G, et G, vérifient la condition (4).

L'équation du cylindre s'obtient alors, en éliminant C, et C^ entre les équations de la génératrice G et l'équation de condition (4). On obtient ainsi l'équation

F [az — ex, hz — cy) = 0,

jui est V équation générale des cylindres, dont les génératrices ont la direction donnée. Pour obtenir tous ces cylindres, il suffit de faire varier la forme de la fonction F ; on peut donc dire que l'équation générale des cylindres est (5), F étant une fonction arbitraire.

Nous allons montrer que toutes ces surfaces cylindriques satisfont à une même équation aux dérivées partielles indépendante, de la

Fig. 207.

fonction F. On sait que, si une surface a pour équation :

les dérivées partielles/; et q de - par rapport à jc ei y, sont données par les deux relations

ÔF

obtenues, en dérivant successivement par rapport à x et //, et regardant z comme fonction de x et y. Posons, pour simplifier l'écriture,

az — ex -=: //, bz — ey = ç,

l'équation des cylindres devient

La fonction F(w, f^), dépendant de .r, //, r, par Tintermédiaire de n et ^, a pour dérivées partielles

ÔF

ôF OF

I ÔF

ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PAHTJELLHS IJI PHEMIEH ORDfH: ♦.». Les valeurs de p et <j sont doue <i(»iinées par

F / *)F , ÔF \

1 * . '^^' ^^' ou, en ordonnant par rapport a — - — et >

dF , OF

«y^ — c -— - -h A/; — - = 0, tV/ ' Or

OF , ÙF

Kntre ces deux dernières équations, on peut éliminer le rap-

port de -^^ — a -— — , et on obtient la relation ' mi Or

[ap — r) [h<i — c — ahpq =^ 0, ou

6) ap -\- bq ^=^ c.

Telle est l'équation aux dérivées [)î^rtielles des cylindres.

Interprétation géométrique. — Cette équation exprime une propriété du plan tangent, qui est évidente géométriquement. Ell«' exprime que le plan tangent

en un point M de la surface [fig, 207), contient la droite MA, menée par M parallèlement aux génératrices, c'est-à-dire la tangente, en M, à la génératrice MG, passant par ce point. Kn eiret, cette droite MA a pour équations :

et, en exprimant qu'elle est dans le plan tangent, on a la condition

ap -f- bq = c.

409. Équation aux dérivées partielles des surfaces coniques. — Une surface conique, ayant son sommet à Forigine, est engendrée par une droite mobile G, passant par 0 [/ii(. 208 \ les équations de cette génératrice sont de la' forme

Cl et C, désignant deux constantes arbitraires. Pour engendrer un cône, il faut assujettir cette génératrice G à s'appuyer sur une directrice D, ce qui s'exprime analytiquement par une équation de condition entre C^ et C^

F(C,,Cj=0.

"^ Vis. 2o8. Pour obtenir l'équation du cône, il sullit d'é-

liminer Cj et C^, entre les équations (G; de la génératrice et l'équation de condition (7). On a ainsi, pour Técpiation générale des cônes de sommet O.

F désignant une fonction arbitraire. Posons

la fonction F(-^,-^j prend la forme F ('/, r), et ses dérivées partielles, par rapport à r et //, sont données par les formules

d.r du .r'^ df/ i)i> //'

dF___dF^J ^ 1 dz du .r ' dç u

/cQr.iTioys AUX Di:nivi:r.s r.\nin:i.Li:s or riirMiFii oiwnr '".'

Les oquations \-p-\ — = 0, -r \-(l -z — = 0, qui doi

lient y^ et //, ileviennent donc

OF - . / ÔF 1 dF 1

Ob - / dF 1 dF 1 \ ^^

r / OF 1 OF 1 \ „

y- ^ \ on .V di> y j

ou, en ordonnant,

1 OF / - \ 1 OF