OF

Les dérivées partielles p et </ sont donc données par les relations

Ix \-p~ — -= 0,

OF

Or

,, , .,. . , , , , OF , OF

a ou, en éliminant le rapport de -^- — a

PU — y-^ ^ 0.

i:QiATioys Al A Di:i{i\i:i:s vaiuulles nv premier okdki: 669

Tello est ré(iualion aux dcrivérs paitiolles des sui hu .s dr révolution autour de ()-.

Interprétation géométrique. — Cette é(|ualion exprime que le plan tano-ent, en M, à la surface contient la tangente MA \\ la courbe génératrice passant par ce point, ce qui est évideiil u. ,,. métriquement. Kn eflet, la tangente au cercle G

en un point M (r, ?/, -), a pour équations

En exprimant qu'elle est dans le plan tangent

Z— 3=/;;X — .r -f-</ Y — //;, on a

411. Généralisation des résultats précédents. — Soient u et r, deux fonctions données de .r, //, z, les équations

définissent une lamille de courbes (G), à deux paramètres C^ et C^. Regardons ces courbes comme les génératrices d'une famille de surfaces. Pour engendrer une des surfaces de cette famille, il faut assujettir la génératrice à s'appuyer sur une courbe directrice donnée D.

Cette condition géométrique se traduit analytiquenient par une relation de condition

entre les arbitraires C, et C^. L'équation de la surface engendrée par les courbes (G), sous la condition (10), est alors

Ll Fii,ç]=0,

où F est une Jonction arbitraire, qu'on peut faire varier à volonté en modifiant la directrice D.

On peut alors loriner une équation aux dérivées partielles, indépendante de la forme de F. En elFet, on a ici :

OF

OF

du

OF

dç

dar

tV

dF

du

OF

àl/

~ du

dF

OF

du

OF

du

dz

di>

~dT'

car F dépend de .v, /y, -, par l'intermédiaire de u et v. Les équa tions :