OF OF ^ OF OF

, OF OF

sont donc, en ordonnant par rapport a — — et

0;r ' ' dz ' 0// ' ' dz

et -— — , dw

OF / 0/^ , 0./ \ , OF / 0(^ , 0^^ \ ^ OF / du du \ OF / Oc Oc \ ^

c^F OF

d ou, en éliminant -^^^ — et — r— du Oc

/ du du \ / Oc Oc \

' ^^ ^'VdT'di/ dr~df/~^'^\~dr^z ~ôF "ôT/

du Oc Oc 0//

àt/ d.r dt/ djc

Telle est l'équation aux dérivées partielles des surfaces considérées. Cette équation est linéaire, en p et q.

J\)rAriO.\S ALX DÉRIVÉES PARTII f.l.i:^ 1)1 l'IirMIKR ORDRF •'»- «

Interprétation géométrique. — Ou vOii liera (juc cette (Mjualani <'xprlino, ([u'en chaque poiut M d'une des surfaces considérées, le plau tangent contient la tangente MA à celle des génératrices G) qui passe par ce point : propriété évidente géométriquement, car le plan tangent, en M, contient les tangentes à toutes les ioiuhes, passant par M et situées sur la surface.

On retrouvera tout ce qui a été dit en particulier pour les cvlindres, cônes, surfaces de révolution, eu particularisant les fonctions // et ^>

(Cylindres) u = az — ex, \> = bz — cy.

Cônes) « = — , v = —

Surfaces de révolution) u == x^ + Z/S ^ = '. En prenant

on aurait des conoïdes ayant pour arête Oz et pour plan directeur xOy.

n. - INTÉGRATION DES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES DU PREMIER ORDRE LINÉAIRES Efî p ET q

412. Forme de Vèquation; interprétation géométrique. — Tne équation linéaire eny^ et q est de la iorme ;i) pf{x,y,z)-^q':^[x,y,z) = ^{x,y,z),

où 3 est une fonction de x et //, p et q désignant les dérivées

partielles -^ et -^ ; les coeflicients f[x,y,z), 'f (x,y,r) et

^ 0.r oy

'^ (x, 7/, z) sont des fonctions données de .r, //, c.

Nous nous proposons d'intégrer cette équation, c'est-ii-dire de trouver toutes les surfaces vérifiant cette condition (1).

Pour cela, nous commencerons par interpréter géométriquement la relation donnée (1). Soit M, un point quelconque de

672 COURS DWSAI.YSE

l'espace ayant pour coordonnées ,i\ //, z ; faisons correspondre à ce point [fîg\ 210) un segment MA, ayant pour origine le point M et pour proj CCI ions sur les trois axes

(MA) fU,ii,z], ^;.r,^,.-), 4.(.r,y,^).

De cette lacon, on lait correspondre à chaque Fig. 210. point M de l'espace un segment MA appliqué h ce

point.

Soit S une surface : pour (juellc vérifie V équation différentielle donnée, il faut et il suffit qu'en chacun de ses points M, le segment correspondant MA soit tangent à la surface. En effet, la droite indéfinie MA a pour équations :

[Mk) — —. ~ - — ^.

f{:^'^!h'; '^:^^ih': '^['^'yyy'j

Le plan tangent, en M, à la surface S a pour équation

Pour que la droite MA soit tangente à la surface, en M, il faut et il sulïlt qu'elle soit située dans le plan tangent, c'est-à-dire que l'on ait

ce qui est piécisément l'équation à intégrer.

413. Intégration. — D'après ce qui précède, intégrer l'équation (1), c'est trouver toutes les surfaces S telles, qu'en chaque point M d'une de ces surfaces, le segment correspondant MA soit tangent à la surface.

Pour cela, nous commencerons par chercher des courbes G que nous appellerons les courbes génératrices et qui possèdent la propriété suivante :

En chaque point M d'une de ces courbes, le segment MA correspondant est tangent à la courbe [fig. 211).

Soient dxydij, dz, les projections d'un déplacement infiniment petit effectué sur une de ces courbes G, à partir d'un point M (.r, y, z) ; la tangente, en ce point, devant coïncider avec le seg-

/(>/ l//M\N iCX DK m VICES PARTIELLES DU PliEMIEH OliÙJiJ ;;

nin.i MA (Ir i)i.»ircti()ns/';r, //, r), 'f ./,//, : et';(^,y, 3), il faut et il sullil ([iroii ait, tout le long de la courbe.

f,v,!i,z) 'i[.r,tj,z) 'yr,f/,z)

Telles sont les équations différentielles des courbes cherchées : on voit ([u'clles sont identiques aux é([uations différentielles des lignes de l'orce correspondant il lin champ de forces tel que la force, appliquée à un point M (.r, 1/^ z), soit précisément le segment correspondant MA.

L'intégration de ces équations (G^ conduit, comme nous l'avons vu (N"* 396 et399j, aux équations des courj)es (1 sous la forme

avec deux constantes arbitraires. Résolvant ces équations par rapport aux deux constantes, on mettra les équations des courbes génératrices G sous la forme

Ces équations définissent une famille de courbes ii deux paramètres Gj et G,, telle que, par chaque point de l'espace, il passe ime de ces courbes.

Les courbes génératrices étant trouvées, pour engendrer une surface S répondant à la question, c'est-à-dire une surface intégrale, il suffit d'assujettir les courbes génératrices (3) à se déplacer en s'appuyant sur une directrice donnée D. Klles engendrent alors une surface intégrale S : eu eff*et, soit M un point quelconque de la surface S ainsi engendrée, MG la courbe génératrice passant par M, le segment MA correspondant au point M est tangent en M à la surface S, car il est tangent ii la courbe MCr située sur la surface.

Kn outre, en faisant varier la forme et la position de la directrice D, on obtient ainsi toutes les surfaces intégrales S : en effet, étant donnée une surface intégrale S, c'est-à-dire une surface telle que le segment MA, correspondant à chacun de ses

APi'Ki.i.. Analyse. 4Î

pohils, lui soit tangent, il est évident qu'on pourra tracer sur cette surface une laniille de courbes G telles que la tangente, en chaque point M de chacune de ces courbes, soit le segment correspondant MA. La surface intégrale considérée S peut donc être considérée comme engendrée par une suite de courbes G. Analytiquement, si on assujettit la courbe génératrice

il s'appuvcr sur une directrice donnée D, cette condition s'exprime par une relation

entre les deux constantes. L'équation de la surface intégrale ainsi engendrée s'obtient, en éliminant Cj et C^ entre les équations de la génératrice (4) et l'équation de condition (5). On obtient ainsi l'équation générale des surfaces intégrales sans la forme

où F désione une (onction arbitraire.

Kkmauqi K. — On voit que la surface intégrale S est dcloiininée, quand on l'assujettit à passer par une courbe donnée D : elle est, en effet, engendiée par les génératrices (4) s'appuyant sur D.

Il y a exception (piand la courbe donnée, par hupielle doit passer la surface intégrale, est une courbe génératrice G,,. Il existe, en elïet, une infinité de surfaces intégrales, passant par une courbe génératrice donnée (j„ ; ce sont toutes les surfaces que l'on obtient, en déplaçant la courbe génératrice G dune manière continue, à partir de la position G^,, ce qui peut être réalisé d'une infinité de manières.