Phi:mii:i< i:xemi>le. — Intégrer l'équation

Cette é([uation lentre dans le type général (1), oii on fait : /•(.r, //, z)^if, 'i[.i',i/,z) = — .r, ^[.i\i/, z) ~ 0.

* ijQr.irroNS alx dérivées partielles du premier ordre 6;'.

Les équations tlifïV'renlielIes des courbes géiuratiitcs sont doue

d:r dij dz

Elles s'écrivent

xdx -\- ydij = 0, ^/r. = 0 ,

d'où, en intégrant,

C, et C^ désignant deux constantes arbitraires. Actuellement, les écjuations des courbes génératrices se présentent toutes résolues par rapport aux constantes arbitraires.

Quand Cj et C^ varient, on voit que ces courbes sont des cercles, dont le plan est perpendiculaire à O^ et le centre sur Oz.

Les suriaces intégrales sont engendrées par ces courbes, s'appuyant sur une directrice quelconque : ce sont des surfaces de révolution autour de O^. Leur équation générale est

F désignant une fonction arbitraire.

Une de ces surfaces intégrales est déterminée, quand on donne une courbe D, par laquelle elle doit passer, excepté dans le cas où cette courbe D serait une génératrice, c'est-à-dire un cercle dont le plan est perpendiculaire à Oz et le centre sur Oz.

415. Deuxiiîme exemple. — Soit S une surface : prenons un point M de la surface, menons la perpendiculaire MP au y plan des x\j (fig. 212) et la normale MX à la surface jusqu'au point N où elle ren- y\%. aia.

contre le plan xOy : on demande de déterminer la surface de telle façon que Vaire du triangle OPS soit proportionnelle à V abscisse du point M.

Soient x^y, z les coordonnées du point M. Le point P, dans le

»l76 COURS D ANALYSE

plan xOîj, a pour coordonnées x ei y. D'autre part, la normale, en M a pour équations :

et le point N où elle perce le plan aO?/, Z = 0, a pour coordonnées :

X = X + pz , \:=y-]rqz,

La surlace du triangle OPN dont les sommets ont pour coordonnées X, Il et X et Y est donc (n*' 41)

ou

-j-{fjzx—pzy).

La condition

aire OPN =/.ï,

7t constante) conduit donc à Téquation différentielle

8) </ zx — pzy = 2 kx ,

équation du type (1) où

f(Xyy,z) = —zt/, ^U,i/,z) = zx, •h{x,y,z)--=^2kx.

Intégrons cette équation. Les équations différentielles des courbes génératrices G sont ici

dx dy dz

'zx 2 kx

Lgalanl les ra{)ports extrêmes au deuxième, on a les deux équations

xdx -f- ydy = 0, zdz — 2kdy = 0,

ou, en intégrant,

(9) .r-^ + y^ ==(:., .^4Xy = C,.

Telles sont les équations des courbes génératrices, avec deux

EQUATIOSS AUX DERIVEES PARTIELLES DU PRE M II. Il (HîDIU •>

constantes arbitraires i\^ et C^ : ces équations se présentent loutre résolues par rapport à C, et C,.

Les surfaces intégrales sont engendrées par les courbes (9), assujetties à la condition de s'appuyer sur une directrice donnée I). Leur équation générale est donc

V désionant une fonction arbitraire.

Par exemple, on aura des surfaces intégrales en prenant

((, /), C désignant des constantes, et, d'une manière générale, en établissant une relation quelconque, ii coefficients constants. «Mitre .r'- + //' <>t c" — 4%.

Une surface intégrale est déterminée, quand on l'assujettit à passer par une courbe donnée D. Cherchons, par exemple, celle <|ui passe par l'axe Oij. Elle est engendrée par les courbes (9) assujetties h s'appuyer sur l'axe O^, ayant pour équations

Pour exprimer que la courbe (9) rencontre la courbe (10), il faut éliminer x, y^z entre les quatre équations (9) et (10). Ce qui donne immédiatement :

il) 16PC,— C; = 0.

Il rrsic alors à chercher la surface engendrée par les courbes (9;, quand C, et C, sont assujettis à cette condition (11 . L'équation de cette surface s'obtient, en éliminant C, et C^ entre les équations (9) -et (11) : elle est

i6)t2(.r^ -I- y^) — iz' — ^kyf = 0.

416. Troisième exemple.— Soit^'(.r,//) une fonction de ./ el//. intégrons l'équation : ,

OU

d^ ^g ds ^îT

djr ^ij di/ dx'

D'après la méthode générale, les équations des génératrices sont ici

djc dy dz

ou

dz = 0, -^dx 4- ~-dy = 0.

Ces équations s'intègrent immédiatement et donnent

L'équation donnant l'intégrale générale demandée est donc

F[-Sé'(.f,y)] = 0, ou, en résolvant par rapport à z,

Ainsi, toutes les fois que deux fonctions de r et y vérifient identiquement la relation

dz 0^'- ô- à-[

O.r ày ày àx Tune d'elles est une fonction de l'autre

ni. — ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES DU DEUXIÈME ORDRE

417. Forme générale. — Une équation aux dérivées partielles ,<lu deuxième ordre, à deux variables indépendantes x et y, est de la forme

/oi i/fO.\s Ar\jj/:/;n/is r \iii h.i.li.s ui hi imimi. oui, m: »•>;.,

(•il />. y. /■. .v. / sont les il«'rl\«M's partielles j)r»iiii«i es «i <lrij\i.iiÉ.> de - par rapport à .r et //.

Intégrer cette équation, c'est trouver les fonctions r de .r et // vérifiant cette équation. La fonction r, la plus générale, satisfaisant à Tequation dépend de deii.v fonctions arbitraires^ de telle façon qu'une surface S, vérifiant ré(|uation, est déterminée, (piand on se donne une courbe par laquelle elle doit passer et la loi des plans tangents à S le long de cetle courbe.

Nous tialterons un seul exemple, en cherchant les surfaces pour lesquelles la courbure totale est nulle en chaipie point. Pour ces surfaces, le z d'un point, considéré comme fonction de / rt ?/, vérifie l'équation

(13) rt — s'=().

(^'est cette équation que nous allons intégrer : nous allons montrer que les surfaces intégrales sont les surfaces développables. En eflet, en introduisant les dérivées premières