Emploi de la roulette Dupuit

— Cet appareil est formé de deux roues graduées R et R' [fii^^. 214), réunies à un manche M. La première a 100 millimètres de circonférence et son axe porte un pignon engrenant avec la seconde qui a dix fois plus de dents que le pignon. La circonférence de R est divisée en 100 divisions chacune d'un millimètre, celle de R', en 10 divisions, dont chacune correspond à un tour complet de R. Un index I, fixé au manche, est placé en regard de R, un index analogue en regard de R'.

Pour mesurer la longueur d'une droite, on ramène d'abord chaque index sur le zéro de la graduation correspondante : on place ensuite l'appareil verticalement, de I façon que le zéro de R coïncide avec l'une des extrémités de la droite et on pousse l'appareil de façon que la roulette roule sur la droite jusqu'à l'autre extrémité. Si, à la fin, l'index V est entre 3 et 4 et si I indique 25 divisions, la longueur mesurée est 325 millimètres.

<') Voyez Dariès, Cubaiure des terrasses et Moiifement des terres, p. 71, Gauthier- Villars.

METHODES D'APPHOM M A I 1()\

lin .■ni

Cela posé, pour mesurer avec la roulrih- Dupuli l'iiii contour fermé (juelconque, par ex<Mnple, l'aire du v( P,ABP„ji considéré dans le numéro précédent, on prend un papier transparent, sur lequel on a tracé un réseau de parallèles ('([iiidistantes, dont la distance commune est une quantité connue z //^'. 21.") . On dispose ce papier sur le contour dont on cherche

l'aire, de façon que deux des droites parallèles viennent se placer tangentiellement au contour en « et / : si bc, de^... hk sont les points où les parallèles intermédiaires coupent le contour, on substitue à ce contour le polygone inscrit ahd.., tilk... eca dont Taire est évidemment

(ljc-hde-\-...+fik].

En promenant la roulette successivement le long des droites bcj de,..., hk, on lit sur l'appareil la somme de ces droites, et, en multipliant par la quantité connue £, on a une valeur approchée de Taire.

Si le contour présente des points anguleux, comme dans la figure, il laut autant que possible placer le papier transparent de façon que chacun de ces points se trouve sur une des parallèles.

421. Méthode de Simpson.— La méthode de Simpson repose sur ce fait qu'on peut faire passer une parabole dont Taxe est

«.8î COURS D AyALYSE

parallèle à Oij par trois points donnés. En effet, l'équation d'une telle parabole étant

on peut disposer des coenicients a, [:i, y, de façon que la parabole passe par trois points.

Ceci posé, pour évaluer l'aire d'un segment P^ABP,,^! [fig. 213;, on divise la base P^P^+i en un nombre pair (/i = 2 p) de parties égales et on mène les ordonnées correspondant aux points de division Pj,P2,..., P„+i : soient, comme précédemment. !l\^yi^lh^"-^ynvii ces ordonnées, s la distance de deux ordonnées consécutives.

Dans la méthode de Simpson, on substitue à l'arc de courbe AMjM^ un arc de parabole d'axe vertical, passant par les trois mêmes points. L'aire du segment parabolique PjAM^MgPg ainsi défini est (N'^ 28)

car la distance h des ordonnées extrêmes est ici 2^. De même, par les trois points M3,M^,Mg, on fait passer une parabole d'axe vertical et on remplace l'aire PgMglVLPg par l'aire du segment parabolique

et ainsi de suite. L'aire de la courbe a alors pour valeur approchée la somme de ces segments paraboliques

Si la courbe et les ordonnées sont tracées avec soin, on peut évaluer la somme entre parenthèses ii l'aide de la roulette Dupuit.

^22. Formule de Poncelet. — Les formules précédentes ont le désavantage de ne pas donner de limite pour l'erreur commise : cet inconvénient disparaît avec la méthode de Poncelet. Dans

M i: l lUih l.s l> AI>1> noM M A I loy ,,s ,

cette méthode, on commence par diviser liii* <l. c mn h. ^^^^^^^\. déré en arcs tels que, le Ion- dr chacun d'eux, la concavité soit dirigée dans le même sens : on .jvalue ensuite sépaién^Mit Taire de chacun des segments limités par ces arcs.

Soit alors M, M,, un de ces arcs : admettons qu'il tourne su ( mi cavité vers Taxe O.r. Divisons la base P,l% du segment en un nombre pair de parties égales à s, en six parties, pour fixer les idées (//-.216). Soient MJ\,M3P3,..., M,P„ les ordonnées iiitr,-

rr>^^

Fi g. 2 1 G.

P« Pz

médiaires. Menons par les points M, d'indices pairs, des tangentes il la courbe, en limitant ces tangentes, aux points où elles rencontrent les prolongements des ordonnées voisines, d'indices impairs: ainsi la tangente, en M^, est limitée aux points R^ et R3, où elle lencontre les ordonnées PjM^ et P^Mj. D'autre part, menons les cordes M^M^, M^M^, M^M^., MgM,. L'aire cherchée S est comprise entre l'aire circonscrite C formée par les trapèzes, tels (jue PjRjRjPg et l'aire inscrite I limitée aux cordes : ces aires sont des sommes de trapèzes

Nous aurons une valeur approchée de l'aire cherchée S, en prenant la demi-somme de ces deux grandeurs

L'erreur commise sera inférieure à la demi-difl'érence

en effet, supposons par exemple S> ^r ; l'erreur commise est

et comme c)< (., elle est inlerieure a L. ^ — ou a — ^^ —

On a donc :

On peut interpréter géométriquement cette valeur : soient II et K (fig. 21G), les points de rencontre de l'ordonnée du milieu MJ^^ avec les droites M^Mg et M,M^, on a :

j^p J7£t:^^ kp

erreur < -^IIK.

En général, si, au lieu de 7 ordonnées, on en mène un nombre impair 2ti-\~ I, la valeur approchée de l'aire est

et l'erreur commise est moindre que