FONCTIONS PRIMITIVES. INTEGRALE DEFINIE SIMPLE

pris»' sur le conloiir de l'aire C dans le sens de la flèche. En eflet, i ma taillons un point mobile parcourant le contour dans le sens in(li(jué et multiplions son ordonnée par la projection dv de son déplacement infiniment petit ; quand ce point décrit l'arc supérieur Mo Ml M', la somme des produits ainsi obtenus est

et, quand il revient de M' en M^, sur l'arc inférieur M'M, M^, elle est

hi somme totale est donc bien A.

Pour faire le calcul efFectif, supposons qu'on ait exprimé les coordonnées .r et // d'un point quelconque M de la courbe en fonction d'une variable auxiliaire /, de telle façon que, t variant de a à fi, le point M décrive la courbe une fois et une seule lois dans le sens de la flèche ; soient

ces expressions. L'aire de la courbe est alors, en faisant le changement de variable exprimé par ces relations :

Quand une intégrale j yd.ic est ainsi prise le long d'une courbe (', on convient de la désigner par la notation

Si la courbe fermée a une forme plus compliquée, sans point double, comme celle de la figure 19, on vérifie facilement, de la même façon, que l'aire de la courbe est égale \\ l'intégrale

prise sur la courbe dans le sens de la flèche. Kn effet, imagi APPELL. Analyse. f>

nons un mobile M partant de A, parcourant la courbe dans le sens de la flèche et multiplions h chaque instant l'ordonnée y du mobile par la projection dx de son déplacement infiniment

petit : quand le mobile parcourt l'arc A, M, A,, la somme 1 ydjc,

ainsi formée, est l'aire du segment B, A, M^ A^ B^ prise positivement; quand le mobile revient de Aj en A3, la partie correspondante \ ydx est l'aire B, A, M^AgBj prise négativement; quand

il décrit AjA^, la somme obtenue est l'aire B3 A3 MjA^B^ prise positivement ; enfin, quand il revient de A^ en Aj, la somme obtenue est l'aire B^A^M^ A^B, prise négativement. La somme totale est donc bien l'aire de la courbe.

Si le mobile tournait en sens contraire, la somme

serait l'aire de la courbe changée de signe. .

Examinons, enfin, le cas où la courbe aurait un point double. Dans la disposition de la première figure (20, I), l'intégrale

prise le long de la courbe, dans le sens de circulation indiqué par les flèches, est égale à la différence des aires des deux boucles.

En effet, cette somme se compose de l'intégrale | ydjTj prise le long du contour A, M, P M', A, de la première boucle, et de l'intégrale j yd.v, prise le long du contour PM',A,M, P de la

rO.\CTIO.\S PRIMITIVES. ISTÉGRALE DÉFINIE SIMPLE 67

Lk'u\ièiiic, et ces deux intégrales sont : l'une, l'aire de la première y Mi

Fi g. 20.

boucle, et l'autre, l'aire de la deuxième prise négativement. Dans la disposition de la deuxième figure (20, II), l'intégrale

ic,y''-^

est la somme des deux boucles. On étudierait de même le cas où la courbe présenterait plusieurs points doubles.