Exemple. Aire d'une ellipse, — Soit l'ellipse

ayant pour centre un point quelconque (j^o'^o) ^* ^^^ ^^^^ a ti b parallèles aux axes coordonnées (fig. 21).

if

Fig. 21,

On peut exprimer les coordonnées d'un point M de Tellipse en posant

X = Xfi-\- a cos t, y = y^ -^ b sin t.

Pour faire décrire au point l'ellipse dans le sens de la flèche, il sulîit de faire décroître /de t: à — 7t. Comme

dx = — a sin t dt, l'intégrale \ yd.v prise sur le contour, dans le sens indiqué, est — / 'Vo -\- ^ sin t) a sin t dt.

Permutons les limites en changeant le signe et remplaçons

1 — cos2/ -, ,, .

swv t par :t . ]\ous avons, pour 1 aire,

/^ . ah f*^' ah (^ ay^ I sin fdf -) :y~ j dl :j— / cos 2t dt.

La première de ces intégrales est nulle, car l'intégrale indéfinie — cos t prend la même valeur aux deux limites ; il en est de même de la troisième intégrale ; quant à la deuxième, elle est égale à la différence des valeurs que prend l'intégrale indéfinie / aux limites ;t et — tî, c'est-à-dire à 2 iz.

On trouve ainsi, pour l'aire, Tzah.