AA

rapport —rrry <^tant compris entre — /- et une quantité qui tend

vers .-y /•', tend lui-même vers cette limite, et l'on a

Kn intégrant, et remarquant que A est nul pour 8 = 8^,

on a

=Xt

Cette dernière formule est aisée à retenir ; elle signifie <[ue l'aire A est la somme des secteurs circulaires infiniment petits inscrits, tels que OMH.

;o (Ol HS 1) A.WII.YSE

41. Différentielle de Taire d*un secteur en coordonnées cartésiennes. — Appelant x et y les coordonnées du point M, on a

X = r cos 8, 1/ = r sin 8.

Comme r est fonction de 0 le long de la courbe, .r et y peuvent «^tre regardés comme fonctions de 8. On a

-:i-:r=: tang 9, 9 = arc tang -^— ?

d'où, en différentiant,

x'+ij- Comme r' -\- \f = z*^, on voit que

■ i^d^^xdy — ydx,^

et, par suite,

dK = —^r- (xdy — f/f^'^) •

On peut facilement retrouver cette formule en se servant de l'expression de l'aire d'un triangle en fonction des coordonnées

des sommets. Soit un triangle OM,M„ dont les sommets M, et M, ont pour coordonnées (.r,,yi) et (j^,,y,). L'aire 0M| Mi peut 86 décomposer comme il suit (fig. 23).

FONCTIOSS PRIMITIVES. AIRE D'i.X SECTEUR 71

c'est-à (liiM^ on calculant les divers termes,

OM,M, = -y .r^i/^ + — (.r^ — .ig (i/^ -f y,) — x^y^.

Cette valeur est positive dans le cas de la figure, c'est-à-dire quand un mobile suivant le coté Mj M^ tourne autour de O, de Ox vers Oy. Elle serait négative dans le cas contraire.

Si, en particulier, nous prenons un secteur de courbe infiniment petit tel que OMM' [fi*^. 22), on peut assimiler ce secteur à un triangle dont les sommets M et M' ont pour coordonnées

l'aire dk de ce triangle est donc

dk = ^{x[y^ drj) - y {.r + dx)-\ ,

dk = -7j- {xdy — ydx) .