Applications. 1° Aire de la lemniscate
La lemniscate est la courbe qui a pour équation :
r"" = a"" cos2H.
Cette courbe a la forme indiquée dans la figure 24. Appe-
lant A l'aire du secteur M<, OM compté à partir de Taxe polaire O.r, on a
dk = 4:- rVQ =
fl* cos
"jx COURS D AyALYSE
Ou a donc, en intégrant,
A = —r- (i- sin 2 8,
car la constante à ajouter est ici nulle^ l'aire devant s'annuler
ivcc 0. Quand M vient en 0,9 tend vers j et l'aire du quart d<
la courbe totale M^ MO est
2" Secteur d'hyperbole équilatère. Sinus et cosinus hjrperboliques. — (Considérons d'abord un cercle [fig- 25, I)
rig. .:;.
de rayon I , <'l appelons A Taire du secteur OM^ M comptée depuis
Taxe Ox. On a
dk = -^ [xdy — ydv) .
On peut exprimer les coordonnées d'un point du cercle en l'onction d'un paramètre / en posant
Alors
.r = cos t, ]i = sin /.
dx = — ^\\\t dt = — //f//, dy ^= cos/ dl = xdty
JOACTIOys PRIMITIVES. AIRE 1) V y SECTEUR ^'i
car r'-j- //-=!. Donc, en intégrant
sans ajouter de constante, car A s'annule avec/.. On a donc enfin :
Prenons de même une hyperbole équilatère dont le demi-axe transverse est i [fi^^. 25, II)
et appelons A l'aire du secteur M^OM comptée à partir de l'axe transverse. On a
(l\ = -j- [xdij — ydx).
On peut exprimer les coordonnées d'un point M de la courbe en fonction d'un paramètre en posant
en effet, on vérifie immédiatement que, quel que soit /,.r^ — V'^^ ^ ■ Quand / est nul, x= 1, 7/ = 0, le point M part de M^, ; quand / augmente jusqu'à Tinfini, le point M décrit la branche infinie M,M. Ona
dx = :j dt = ydty
do
ne
et + e-' dy = ^r dt = xdt;
dk=-^ (jc^ — tf) dt ==-^dt.
car .V- — 1/'= i- Intégrant et remarquant que A s'annule avec /, on a
74 COURS D'AyALYSE
Les coordonnées d'un point M de l'hyperbole s'expriment donc, en fonction de l'aire A du secteur hyperbolique, par des formules analogues à celles qui donnent les coordonnées d'un point d'un cercle en fonction de l'aire A du secteur circulaire .
C'est en raison de cette analogie que les fonctions
s'appellent cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique de / ; on les écrit quelquefois
cos hyp ty sin hyp /.
On peut donc écrire
e ' = cos hyp t -\- sin hyp t e~ ' = cos hyp / — sin hyp /.
On trouvera dans le Recueil de formules numériques de Houël (Gauthier-Yillars), p. XVIII, 36-55, une table donnant les logarithmes de ces fonctions pour des valeurs positives données de /.
3° Aire d*une courbe fermée. — Soit une courbe fermée, sans point double, qui n'est rencontrée qu'en deux points Mi et Mj par un rayon vecteur [fi^. 2(3). Supposons d'abord l'origine hors de la courbe, et menons de 0 deux tangentes OMq et OM' faisant avec O.v 1rs :iii glesOo et 0'. Soient/', et r, les deux valeurs OM, Fijr. aO. ^^ O^X^ des rayons vecteurs correspondant à
un angle polaire 0. Les aires des secteurs OM^MjM' et OMoMjM' sont respectivement
et Taire de la courbe, diflcrence de ces deux secteurs, est
Oïl peut écrire aussi, en intervertissant les limites de la deuxième intégrale,
formule qu'on peut interpréter en disant que Taire est égale îi rintégrale
prise tout le long de la courbe dans le sens indiqué par la flèche
Si le point O est intérieur à la courbe {fi<,'. 27), Taire est donnée par l'intégrale y^^T])
Fig. 27.
car 8 doit varier de 0 à 2r pour que M décrive la courbe. On peut dire encore que Taire est donnée par Tintégrale
prise le long de la courbe dans le sens de la flèche.
On verrait, comme au N** 38, que les mêmes résultats s'appliquent à une courbe fermée, d'une forme quelconque sans points doubles.
Si la courbe présente un point double (Ji^. 20), Tintégrale
^ J; .^/e = -j-j ixdy — ydx),
prise le long de la courbe dans le sens de la flèche, représente, suivant les cas, la différence ou la somme des aires, des deux boucles.
CIIAIMTHK 111
VOMMi: DIX SOLIDE A BASES PARALLÈLES
