OA

Soit S la surface de la section faite par ce plan ; cette surface, que l'on peut évaluer par les méthodes précédentes, est évidemment une fonction de - ;

I^e volume V compris entre le plan de base inférieure r, et la section S située à la cote r, est une fonction de z. Nous allons montrer (pie la difFérentielle d\ de celte fonction V de z est donnée par la formule

(/V = S(/rcosO.

VOLUMl D'r.y SOLIDE A BASES PARALLÈLES 77

KiieftVt, supposons, pour fixer les idées, que, ([uand z îui<^niente, S diminue. Faisons croître z de A 3 = A A' et soit

S' = :p (3 4- Ar

la nouvelle valeur de la surface de la section. L'accroissement AV du volume est une tranche de hauteur Ar cos 0, car la hau-

Fig. «8.

leur est la projection de A A' ou \z sur ON. Cet accroissement est compris entre un cylindre de base S ayant pour hauteur Iz cos h et un cylindre de base S' ayant pour hauteur A 3 cos H.

S'\z cos ô < AV < SA3 cos Q.

En divisant par A-, on a

AV

S'cosO <__<Scose.

Quand \z tend vers 0, • — - — tend vers la dérivée — -. — , S' tend

d\ vers S; la limite — - — ■ est donc égale ii ScosO, et on a

— ; = ScOSli,

az (IW = Sdz cos^.

COURS D'AyALYSE

Kn intégrant de z^, qui donne la base inférieure, à z^y qui lionne la base supérieure, on a le volume total considéré

== cos e r

«I Sch.

C^elte formule est aisée à retenir : elle exprime que le volume V est la somme des cylindres infiniment petits inscrits S cos 8 dz.

Remarque. — Pour simplifier le raisonnement, nous avons supposé que la projection de S sur le plan de S' (fig. 28) entoure complètement S'. Si cette projection était en partie sur S' et en partie en dehors, la forme du raisonnement devrait être un peu modifiée, mais le résultat final serait le même : le volume V, limite de la somme des cylindres inscrits S cos Q dz^ est toujours donné par la même formule.