II. — CAS PARTICULIER OU S EST FONCTION DU SECOND DEGRÉ DE X

44. Formule. — Supposons que l'aire S soit une fonction du second degré de z

a, py Y désignant des constantes. Cette propriété est indépendante de la position de l'origine et de la direction de l'axe des z. Kn eflet, si on prenait une autre origine en conservant la même direction d'axes, les formules de changement de coordonnées donneraient, entre l'ancienne cote z d'un point et la nouvelle z'y une relation de la forme

Par celte substitution, l'expression S du second degré en z se transformerait évidemment en une expression du second degré en z.

De même, si on changeait l'orientation de O;; en prenant un nouvel axe O^' faisant avec la normale ON au plan des xtf un

VOLUME D'iW SOLIDE A BASES PARALLELES 79

angle 0', on aurait, entre Tancien et le nouveau z d'un point M, la relation

-; cos 8 = ^' cos 0'

dont les deux membres représentent la distance du point M au phi 11 (It's ri/. 11 est alors évident qu'une expression du deuxième degré on 3 est du deuxième degré en z'.

Pour simplifier les calculs, nous supposerons qu'on ait choisi pour plan des jry le plan de la base inférieure; alors Zq = 0. La surface S étant, par hypothèse, du deuxième degré en -, on a

S = az' -h bz -h r, et

V == cos e f^laz^ -h f^z -\- c) dz.

En intégrant, on a immédiatement

ou, en réduisant au même dénominateur,

Zi cos ^ 2 I j / , a \

V = T, (2 a -1' +3 h zi -h bc).

Appelons S^, la base inférieure, S^, correspondant à .z = 0, on a

S, la base supérieure, correspondant à r =: ?,, Si =azi^ 4- hzi -f- c;

S^ la section médiane, correspondant à ^ = -y-,

La parenthèse figurant dans l'expression de V est, comme on le vérifie immédiatement,

So -f- S, 4- 4 Sm ;

d'autre part, le facteur -, cos 8 est la hauteur li du solide; on a donc enfin la formule

il)

Cas particulier où S est linéaire en z. — Cette formule établie pour a quelconque, s'applique évidemment quand a est nul, c'est-à-dire quand S est du premier degré en ^,

Mais alors

So = Cy Si = bzi -h c, S„, = h -^ 4-

donc

Swi — ipQ

et la formule générale devient

v--x(^«+Si)

45. Solides élémentaires, — La formule précédente (1) s'applique aux solides élémentaires, tronc do pyramide, tronc de cône, tranche de sphère. En effet, considérons un tronc de pyramide ou de cône (//^'. 21) ; prenons comme origine le sommet 0 de la pyramide ou du cône, pour plan des .vt/ un plan parallèle aux deux bases S^, et S,, pour axe des - une perpendiculaire h ces deux bases. Soient k la distance du point O au plan S^,, et S la section faite dans le solide par le plan situé il une distance du sommet OA = z. Comme, dans une pyramide ou un cône, les sections faites par des plans parallèles sont proportionnelles aux carrés de leurs distances au sommet, on a

l-ijf. Mj.

VOLUME D'Ui\ SOLIDK A li A ^ / "^ I' AH ALLE LE S 8i

S est donc une fonction du second degré de z et la formule précédente s'applique.

11 en est de même pour une tranche de spliin? à bases parallèles S„ et S,. Kn effet, si on prend encore l'axe Oc perpendiculaire aux bases, l'origine étant au centre de la sphère, Taire S de la section faite par un plan à une distance r du centre est

(Kl II désigne le rayon de la sphère, dette expression est du deuxième degré en z.

46. Tranche elliptique d'une surface du second ordre. — La même formule s'applique à une tranche de surface du second ordre com[)riso <Mitre deux plans parallèles, pourvu que cette trnnche ait un volume fini, ce qui ne peut arriver que si les plans de bases de la tranche coupent la surface suivant des l'/ii/jses.

Prenons, par exemple, une tranche d'ellipsoïde limitée par deux plans parallèles S^, et S, [fi^. 29).

lig. )o.

Prenons pour origine le centre de Tellipsoïde, pour axe des z le diamètre conjugué de la direction des plans S^^ et S,, pour plan des .ri/ \xn plan parallèle ii ces plans, et enfin pour axes des .v et des i/ les axes de la section de la surface par le plan des .rt/. L'ellipsoïde, étant ainsi rapporté à un système de diamètres conjugués, a pour équation

APPELL. Analyse. <>

8i COURS D'A y ALY SE

Coupons l'ellipsoïde par un plan parallMe au plan des .ry,

- = (lonst.

Nous aurons, comme section S, une ellipse

cpii se projette en vraie grandeur sur le plan des xij. Les axes de cette ellipse ont pour longueurs

et son aire est

Cette expression étant du deuxième degré en -, le volume de la tranche est donné par la formule

Le même raisonnement s'applique à une tranche d'hyperboloïde limitée par deux sections elliptiques parallèles.

Volume d'un ellipsoïde. — L'ellipsoïde étant rapporté ;i ses axes a y />, c a pour équation (fig. 31),

fl* b* c*

Si on le coupe par des plans parallèles au plan des j-^, Taire de la section est fonction du deuxième degré de z; la formule s'applique donc, comme nous venons de le voir, ii une tranche quelconque, comprise entre deux plans parallèles au plan.rO//. Pour avoir l'ellipsoïde entier, nous prendrons comme plan dr

o L CM i: ij ' r.\ s oi.ii) /■: i /; i s /; s ir\ n a i.i. 1. 1. 1:

se supérieure le plan tangent z =^c : ce plan coupant la surface iv;mt un point, on a S,=0. Prenons de niAnie comme plan de

Fig. 3..

hase inférieure le plan tangent 3 = — r, alors 8^^ = 0. La section médiane est dans le plan des x y ; elle a pour aire

La distance li des plans de buse étant ici 2 c, on a, pour le

volume,

V =: — — . 4 t:^ A ^= -77- t: a bc .

Paraboloïde elliptique. — Soit une tranche de paraboloïde elliptique ayant pour hases deux sections parallèles S^j et S^. Prenons comme axe des 3 le diamètre conjugué des deux hases,

Fig. I2.

pour plan des .v y le plan tangent parallèle aux deux hases, comme axes O.r et Oy des parallèles aux axes des deux hases. L'équation de la surface est

Le plan z = C' coupe la surface suivant une ellipse dont les axes ont pour longueurs \ az et \ hz et dont l'aire est

Otle expression étant linéaire en -, la formule simplifiée s'applique, et on a

47. Autres solides dont le volume est donné par la même formule. — Soient, dans l'espace, un plan fixe P et un certain nombre de droites D,, D^,....I)„ dont aucune n'est parallèle au plan P.

Dans la figure 331e nombre n est égal à 4.) Un plan S parallèle au plan P coupe ces droites en/e points A,, Aj,..,A„ que nous joindrons dans l'ordre A^ Aj....A„ , de façonà former un polygone S.

Fig. 31.

()uand le plan S se déplace parallèment au plan P depuis une position Sjj jusqu'à une position S,, le polygone engendre un solide dont le volume est donné par la formule l). Pour le montrer, prenons pour plan des .ri/ le plan P; il suffit de prouver que l'aire S du polygone A, A,.... A„ est une fonction du deuxième degré du r du plan de ce polygone.

VOLUME DU y SOLIDE A BASES P ARALL 1. 1. 1: s Si

Les droites D^^ D,,...., D„ ont des équations de la forme suivante :

-^It,.

liC plan z = C' , coupe la droite D^ en un point A,, dont les coordonnées sont

et la droite D, en un point A^, dont les cordonnées sont

(AJ x^ = a^ z + //,, y, = />, z 4- Aj ;

ce plan coupe O- en A.

La surface du triangle A A, A^ se projette en vraie grandeur sur le plan des.!// suivant un triangle ayant un sommet à l'origine. L'aire de ce triangle est

A A, A, = -j [x,y, — tj,x^],

AA,A, = ^ [{^', -4-/^) [K-^K) — {^--\-^i) (««-^^/'J].

Cette aire est donc une fonction du deuxième degré de -. Il en est de même des aires A A, A,, AAjA^... et par conséquent de

l'aire S du polygone A, A, A„ qui est la somme algébrique de

toutes les aires triangulaires.

Le théorème est donc démontré.

On peut faire rentrer dans cette catégorie de solides, le tas de pierres. Ce solide est limité d'une part par deux bases rectangles A, A, A3 A^ et B, Bj B^ B^ ayant leurs côtés parallèles et leurs centres C et D sur une perpendiculaire aux bases ; d'autre part, par quatre trapèzes tels que AjB,B^ A,... etc. Le volume du tas de pierres est donc donné par la formule (1).

Re.marque. — Supposons que les droites D,, Dj,...,D„ soient

parallèles à un même plan. Nous pouvons toujours prendre le plan des 1/ z parallèle à ce plan. Alors tous les coelïicients a,, fl„...,a„ sont nuls et Taire de chaque triangle tel que A A, A^ est une l'onction linéaire de z. L'aire S devient donc, dans ce cas, une fonction linéaire de z. Il en résulte que la section médiane S„, est alors la demi-somme des deux bases

et le volume du solide devient

48. Tranche de surface réglée. — Le volume que nous venons de définir dans le numéro précédent est donné par la même formule, quels que soient le nombre et la distribution des droites 1)^, D,,..., D„ . En supposant que le nombre n de ces droites augmente indéfiniment, on voit qu'elles forment une surface réglée quelconque et que le volume considéré devient une tranche de surface réglée comprise entre deux plans parallèles, (le volume est donc encore donné parla même formule.

Surface réglée à plan directeur. — Si la surface réglée a un

plan directeur, l'aire de la section S est une fonction linéaire

de z, Sfn est égal à-:T-(Sç -|- S,) et le volume de la tranche devient :

KxEMpLK. ConoXde. — On nomme conotde la surface engendrée par une droite mobile MX s'appuyant sur une droite fixe A B, restant parallèle à un plan fi.xe Q et assujettie h rencontrer une courbe quelconque de l'espace. La droite A B est l'arête du conoïde, Q le plan directeur (fi^r. 34).

Cherchons le volume d'une tranche du conoïde comprise entre l'arête et une section plane S, parallèle à l'aréle. L'une des

voLV mi: u l y solide a hases parallèles

hases du solide ainsi délini est Sj ; l'autre Sq est mdle^ car elle se réduit h Faréte A B ; enfin la hauteur h de ce solide est la

Fig. i4.

distance de rar<M«' A B à la section S,. Le volume est donc

On pourrait facilement vérifier ce résultat, en décomposant le volume considéré en tranches prismatiques par des plans parallèles au plan directeur Q.