III. - SOLIDES DE RÉVOLUTION

49. Formule. — Les axes étant rectangulaires, soit, dans le plan rO.r, une courbe C. ayant pour équation [fi^. 35)

Cette courbe est considérée comme la méridienne d'une surface de révolution autour de Oz. Prenons sur la courbe C un arc Mç M, et abaissons les perpendiculaires M,, P^, et M, P, sur l'axe 0^. Quand on fait tourner le trapèze curviligne Po^^, M, P, autour de 0:=, il engendre un volume limité latéralement par la surface de révolution, supérieurement et inférieurement par deux parallèles de rayons M© P© et M^ P,. Découpons ce solide en

88 coins D' AS A LYS K

tranches infiniment minces par des plans pcrpcndiculaiics ii Taxe Ov. La section S du solide par un plan perpendiculaire à

Fig. r^.

l'axe, situé \\ la hauteur OP = -, est un cercle de rayon M P = .r, et on a

Donc, d'après la formule générale précédemment établie (n*» 44) :

V = Cr^r^dz = TT rx^dz,

car, actuellement, cos6=l.

Dans cette intégrale, ût est une fonction de - définie par l'équation de la méridienne /"(.f, z^ = 0.

On peut dire que le volume est égal ii l'intégrale t: j a** (fr prise le long de l'arc de courbe M,, Ml

50. ExEMPLK. — Supposonsquelaméridiennesoit une hyperbole équilatère ayant les axes pour asymptotes. Son équation est

oc A* srr A I OC — •

Le volume de la tranche PqMoM, P, est alors (/?^'. 35).

voi.iMi: D'iw soi.iDi: A liAsi.s j'AJi A/. /./:/./■: s

r'intéfTiale iiuléfinio étant , on a

Ukmaikxi:. — Quand on fait croître z^ iiKltllMiiiMMit, V tend vers une limite

Nous avons vu, au contraire, que Taire du segment i)l;iij PoMoM, P, augmente indéfiniment, quand M, s'éloigne sur Tlivperbole (n** 26).

51. Volume de révolution engendré par une courbe fermée plane. — Soit, dans le plan des jz^ une courbe fermée C située d'un même côté de l'axe de révolution O^ [fi^'. 3G).

Fig. 3«.

Proposons-nous encore de calculer le volume engendré par la rotation de l'aire C autour de Oc. Pour cela, menons les tangentes il C perpendiculaires à Or, l^M^^ et PjM,. Une parallèle 'd 0.r située à une hauteur OP = z coupe la courbe C en deux points M' et M" d'abscisses jc' et jc". Le volume cherché V est la différence des volumes engendrés par les segments P^^M^^MMiP, et P,MoM"iM,l\ :

V = T.rx'Hz — T. r^"^dz

COCUS D'AyALYSE

On peut écrire aussi

en intervertissant les limites de la deuxième intégrale et changeant son signe. On peut dire alors que le volume V est égal à rintégrale

c/lC)

rW-,

prise le long de la courbe C dans le sens de la flèche; c'est ce qu'on convient d'indiquer par l'indice ('..

Le moyen le plus simple de calculer cette intégrale (3) est d'exprimer les coordonnées .r et z d'un point de la courbe C en fonction d'un paramètre /,

de telle façon que, t variant de a à b, le point de coordonnées x et z fasse une fois le tour de la courbe C, dans le sens de la llèche. On a alors, en prenant t comme variable dans l'intégrale (3),