partie principale est

Infiniment petits d'ordre n. — On peut généraliser ces notions comme il suit :

On dit que fi est un infiniment petit d'ordre n^ par rapport il a, n étant positif, si le rapport

a" tend vers une limite k différente de zéro. On peut alors écrire

£ étant infiniment petit avec a ; d'où

A- a" est la partie principale de [^; le rapport de ^ h sa partie principale

tend vers 1 quand a tend vers zéro.

Dans cet énoncé général, n est assujetti ii être positif ; il peut être entier ou fractionnaire.

Exemples. — Soit

Cette quantité est infiniment petite avec a. En remplaçant e" par le développement en série connue

INFINIMENT PETITS. DIFFERENTIELLES 5

on A\

^^ TTT^'^ 1.2.3.4 "^•••' donc

3 est infiniment petit du troisième ordre et sa partie principale est -^.

Soit encore

3 est infiniment petit nvec a ; on a

:im -

donc

,3 est infiniment petit d'ordre tj par rapport à a, et sa partie prince

cipale est

A\j2 ou \j2l.

Remarque. — Cette classification n'embrasse pas tous les infiniment petits. 11 peut se faire qu'une quantité ^ soit infiniment petite avec a, mais ne soit d'aucun ordre ^ ni entier ni fractionnaire. Par exemple

est infiniment petit avec a, mais le rapport

tend vers zéro avec a quelque grand que soit l'exposant n. On •ne peut donc assigner aucun ordre d'infiniment petit à [^ par rapport à a.

2. Ordre du produit de deux infiniment petits. — Si [3 est infiniment petit d'ordre m par rapport à a et y d'ordre ii, le produit jiiv est d'ordre jnn. En effet, on a alors

où /i et k' sont des constantes non nulles et s, s' des infiniment petits. On en conclut

7( désignant la quantité infiniment petite s /i' + sVi -{- ss^ Donc pv est d'ordre ni-\-ny et sa partie principale est

3. Principes de la méthode infinitésimale. Deux points de vue. — On peut employer, à deux points de vue différents, les quantités infiniment petites, dans la recherche des quantités finies.

Le premier point de vue, que les anciens n'ont pas connu et dont la découverte est due à Newton et à Leibniz, consiste à regarder la quantité que l'on cherche comme la limite du rapport de deux quantités infiniment petites. Par exemple, si l'on considère une courbe ayant pour équation en coordonnées cartésiennes

et si l'on cherche le coefficient angulaire de la tangente en un point M de coordonnées .r et //, on considère un point voisin M de coordonnées .r -f- A.r, ij -\- Aij et on cherche la limite du rapport

Ail

A.r quand A.r tend vers zéro. On est ainsi amené à la notion de déri-

IXriXIMEXT PETITS. DIFFERENTIELLES 7

vée i de sorte que ce premier point de vue conduit au calcul des dérivées ou au calcul différentiel.

Le deuxième point de vue, sous lequel on peut employer les infiniment petits, consiste à regarder une quantité finie comme la limite de la somme d'un nombre infiniment grand de quantités infiniment petites. Ce point de vue était connu des anciens. Par exemple, en géométrie élémentaire, on considère la longueur d'une circonférence comme la limite vers laquelle tend le périmètre d'un polygone inscrit dont le nombre des côtés augmente indéfiniment, chacun d'eux tendant vers zéro ; on définit d'une façon analogue les aires planes ou courbes, certains volumes, etc.. Ce second point de vue conduit au calcul intégral ; nous verrons, en effet, qu'une intégrale est précisément la limite de la somme d'un nombre infiniment grand de quantités infiniment petites.

4. Deux théorèmes fondamentaux. — La méthode infinitésimale, envisagée successivement sous ces deux points de vue, repose sur deux théorèmes correspondants.

Premier théorème. — La limite du rapport de deux infiniment petits n'est pas cliangèe, quand on remplace chacun d'eux par un infiniment petit dont le rapport a{>ec lui a pour limite Vunitè.

Soit le rapport de deux infiniment petits

T ' Prenons deux autres infiniment petits ,3' et y' tels que

lim -^=1, lim J^ = l.

Il faut montrer que

lim — y = Il m -5—.

Ce fait est évident, car on peut écrire

£ et t' tendant vers zéro en même temps que P et y- On a donc