e le rapport , tend vers 1 et on a bien
lim -i-r = lim -^ — .
En particulier, pour trouver la limite du rapport de deux infiniment petits j^ et y, on peut remplacer chacun d'eux par sa partie principale, puisque le -rapport d'un infiniment petit à sa partie principale tend vers 1.
Exemple. — Pour évaluer la limite du rapport
sin 3 a
sin 1 a
quand a tend vers zéro, on peut remplacer respectivement sin 3 a et sin 2 a par 3 a et 2 a, car les rapports
sin 3 a sin 2 a
tendent vers 1. La limite cherchée est donc celle de -t — ou -^r- .
Deuxième théorème. — La limite de la somme d'un nombre infiniment grand d'infiniment petits, TOUS DE MÊME SIGNE, n'est pas changée quand on remplace chacun d'eux par un autre dont le rapport avec lui a pour limite Vunitê.
Soient ai, a^,.,., a„ les quantités infiniment petites proposées, toutes de même signe ; supposons qu'on ait
lim (a^-f-a, + -f- aj = A
quand toutes ces quantités tendent vers zéro, n croissant indéfiniment. Soient maintenant ^,, p,,..., %^^ d'autres quantités infiniment petites, en même nombre, telles que
lim A= 1, limA=^ l,.....,lim-^=l
INFINIMEAT PETITS. DIFFÉRENTIELLES ■ 9
Il faut démontrer que l'on a également
■lini (?. + ?,+ + p„) = A.
Considérons les rapports
dont les dénominateurs sont tous de même signe par hypothèse. D'après un théorème élémentaire d'algèbre, le rapport
obtenu en divisant la somme des numérateurs par celle des dénominateurs est compris entre le plus grand et le plus petit des rapports (1), de sorte que l'on a
-^-^ étant le plus petit et -^-^ le plus grand des rapports (1).
Quand n augmente indéfiniment tous les rapports (1) et en par-
ticulier * '" et -^-^ tendent vers 1 par hypothèse. Le rapport
étant compris entre deux quantités qui tendent vers 1, tend luimême vers 1, et comme le dénominateur tend vers A, il en est de même du numérateur.
Le théorème est donc démontré. On peut, en particulier, pour évaluer la limite de (aj-j-a^H- + aj, remplacer chaque infiniment petit composant la somme par sa partie principale.
Remarque. — Il est essentiel de supposer les quantités a^, oL^y.-.^y.,, toutes de même signe; s'il n'en était pas ainsi, on ne pourrait plus faire la démonstration, car le théorème d'algèbre sur lequel nous nous sommes appuyés ne serait plus applicable. Il est facile de montrer, par un exemple, que la proposition n'est plus vraie.
COURS D'ANALYSE Soit n un nombre pair, ii = 2]) ; posons
où tous les a d'indices impairs sont égaux au premier rj.^ et tous ceux d'indices pairs au deuxième a^. La somme a^ + a^^ .. +a^,
est — ou 1. Soit d'autre part :
Quand /? augmente indéfiniment, toutes ces quantités deviennent infiniment petites et les rapports
tendent vers 1. Mais comme les a n'ont pas tous le même signe, on ne peut pas allirmer que la somme
tende vers la même limite que la somme des a. KfTectivement la somme des [3 est nulle et celle des a égale à i.
5. Application du deuxiiîme THÉoniiME . Aire cViiii sei^ment de courbe plane. — Considérons une courbe plane ayant pour équation, par rapport à des axes rectangulaires
prenons un arc continu M^ M [fig. 1) de cette courbe et abaissons les perpendiculaires M^P^^ etMP sur l'axe 0.r. Proposonsnous d'évaluer l'aire P^^M^^MP. Nous supposerons d'abord que l'arc M(, M soit au-dessus de 0^* et que l'abscisse .r de M soit supérieure à l'abscisse a de M^.
lyriMMEXT rETirS. niFFEIlEyriELLES , II
Divisons P^ P en n parties par des points Pj, P,, ,P«i et menons les ordonnées P, M^, P, M,, ,P,, i^l„i. Ces ordonnées
divisent l'aire S en n parties que nous appellerons a^, a^, , a,,.
L'aire A étant évidemment la somme des parties dans lesquelles on l'a divisée, on a
Inscrivons maintenant dans la courbe des rectangles de la façon suivante. Par le point M^j, menons une parallèle à O.r, M^^ H,, jusqu'à la rencontre de l'ordonnée M^P^; par M^ menons une parallèle à O.r, ^I^ II,, jusqu'à la rencontre avec M^P^, et ainsi de suite, par M,(, une parallèle à Oj", M,j i H„, jusqu'à la rencontre avec M P. Xous formons ainsi n rectangles inscrits P^, M^,
Hj Pj, Pj MjH^ P,,... dont nous appellerons les aires 3^, 3^, Z^^.
Xous allons démontrer que l'aire A est la limite de la somme de ces rectangles quand n augmente indéfiniment et que toutes les divisions P(j ^^i' ^^i ^^2' > Pn-i P tendent vers zéro.
Il s'agit donc de démontrer que
lim {?,+ ?,+ + .3,,; = A,
OU encore que la somme ?!+?.>+ + ?u ^ même limite que
a^-f-a^ + a,r Pour cela, comme les quantités a^, a^, ,a„
sont toutes positives, il suffit de vérifier que tous les rapports
tendent vers 1
Supposons d'abord que le long de l'arc M^j M l'ordonnée varie toujours dans le même sens, par exemple en croissant, comme dans la figure 1. Considérons le rapport
nous allons démontrer qu'il tend vers 1 ; la démonstration est la même pour tous les autres. Menons par M^ une parallèle à Ox vers la gauche, jusqu'à la rencontre avec M^ P^ en K^, et appelons !Ji ^* Ui ^^^ ordonnées M^ P^ et M^ Pg, \x l'accroissement P, P^ de l'abscisse. L'aire rj.^=^V^^\^'M^V^ est évidemment comprise entre le rectangle P^ K^ Mg P^ de surface y^ \x et le rectangle P, M, Hg Pg appelé j^^ tle surface y^ A.r.
Z/i Aj: < a, < y^ Ix.
Divisons par y, \x == p^
Quand n augmente indéfiniment, A^ tend vers zéro, y^ tend y
Fi
Il n
vers y, et le rapport -^ tend vers 1. Donc -^, étant compris entre 1 et un rapport qui tend vers 1, tend lui-même vers 1.
lini-^=:l.
ISFISIMEXr PETITS. DIFFERENTIELLES . i3
La même démonstration s'appliquant à tous les rapports, le théorème est démontré ; l'aire A est la limite de la somme des rectangles inscrits.
Si sur l'arc M^M l'ordonnée ne varie pas toujours dans le même sens [fig. 2), on peut partager cet arc en parties M,, M,, M, M^,, M^ M le long de chacune desquelles l'ordonnée varie dans le même sens. Le raisonnement précédent s'applique alors à chacune des aires partielles limitées par les ordonnées des points intermédiaires Mj, M^ et par suite h l'aire totale A qui est donc, dans tous les cas, donnée par
A = lira (?. + ?,+ + ?„).
6. Expression analytique. — - Appelons (fig. i) a et j: les abscisses des extrémités ^l^ et ^I,i, o'j, .r^,..., a.\^i les abscisses des points intermédiaires Mj, ^I^,... M„i ; les ordonnées M^ P^, M, P„... }ln-i Ph i sont/'(rt), f(x^),...,f[x„y) ; les segments Pq Pj, Pj P,,..., Pn-i P servant de bases aux rectangles sont .r^ — a y .r„ — j^j,...,.r — ^^^^n-u ^t on peut écrire
A = lim [(,r. - fl) /•(«) + (x, - ,r,) f[jc,) + ...
quand n augmente indéfiniment, toutes les différences x^ — a, x^ — -rj,..., X — j:,j i tendant vers zéro. On peut écrire cette expression sous forme abrégée
A = lim Sf{x) \x
le signe S signifiant qu'il faut faire la somme des produits de chaque ordonnée par l'accroissement correspondant de l'abscisse. On écrit habituellement
A = r f[x) dx
où le signe j qui représente une lettre S s'énonce « somme ».
On dit « A égale somme f[x) dx)}.
Cette expression | f(x) dx est ce qu'on appelle une intégrale
simple. Nous verrons prochainement comment le calcul de ces intégrales simples se ramène à la recherche des fonctions primitives.
,/j COURS D'ANALYSE
7. Valeur algébrique de Faire d'un segment. — Les raisoniiemenls géométriques que nous avons faits sont indépendants de la disposition de la courbe par rapport aux axes des coordonnées. Mais quand nous avons établi la formule
A = lim [(.r, — a) f[a) + [x, — x,) f{x,) + ...] = lim S f[x) ^-^ = / f{^) dx,
nous avons supposé que l'arc M^ M était au-dessus de O^ et que X était supérieur \\ a.
Voyons ce que représente cette même limite quand ces conditions ne sont pas remplies.
Supposons d'abord que x soit supérieur h a mais que l'arc
Fig. 3
M^M soit au-dessous de Ox[fig. 3). Alors dans l'expression analytique que nous avons écrite
A =llm [(.r.-«) /■(«) + (.-^^-.r,) f[x,) + . . . + (.r -x ,.,) /-(.r..^,)]
toutes les ordonnées /'(«), f{^i) y-y fi^Cn-i) sont néi>atives; les
produits [x^ — a) f{ci)y [x^ — *^i) /^(-^i)? représentent donc les
aires des rectangles inscrits changées de signe et la somme de ces produits a pour limite l'aire P^, M^^ M P chajigée de signe. Pour ne pas avoir à modifier les formules, il suffit donc de regarder comme négatives les aires des segments situés au-dessous de O.r; on aura encore, dans ce cas
A =:= J /•(^•) dx.
Si l'arc M^, M [fig. 4) est partiellement au-dessus et partiellement au-dessous de l'axe 0 x qu'il coupe aux points M', M" M'', dans l'expression de la somme
A = lim [(x, - a) f{a) + [x, — x,) f{x,) + ... + {x — j-„.,) /"(.r,,.,)] = j f[x) dx
IM-jyiMENT PETITS. DIFFERENTIELLES i5
1rs aires de ceux des rectangles inscrits qui sont au-dessus de l'axe entrent positivement et les aires des rectangles inscrits
qui sont au-dessous entrent négativement. La somme A représente donc la différence entre les aires des segments situés audessus et les aires des segments situés au-dessous de l'axe Os.
