V.-V.= it/' .v^'dz + T.f .,-.Vr, c'est-;i-dire

l'intégrale étant prise le long de la courbe dans le sens de la fièche.

Ainsi, dans ce cas, l'intégrale prise le long du contour repré-

i (H lis D' A.\ALYSE

sriilr hi (lillV'j « iKc des volumes engendrés par la portion d'aire placée à droite et la portion d'aire placée à gauche de l'axe. Ce l'ait devient d'ailleurs évident si l'on remarque que, .r et z désignant les coordonnées d'un point M qui décrit la courbe dans le sens indiqué, dz est positif quand le point monte et négatif ({uand il descend. La somme

\lz.

contient alors positivement les éléments du volume engendré par l'aire A C, B et négativement les éléments du volume engendré par l'aire B C^ A.

53. Exemple. Volume du tore. — Le tore est une surface de révolution dont la méridienne est un cercle. L'axe de révolution étant pris pour axe Oz, prenons pour axe des .r la perpen-

Fig. 38.

diculaire abaissée du centre G du cercle générateur sur O^. Soit OG = a, et soit R le rayon du cercle. Nous supposons que le cercle ne coupe pas Taxe, c'est-h-dire que a est supérieur à H. Le volume V du tore est égal à l'intégrale [fig. 38}

prise sur la circonférence du cercle générateur. Or les coordonnées .r et z d*un point M de cette circonférence sont

.r = a -j- R cos /,

Hsin/,

VOLUME D'UN SOLIDE A HASES PARALLELES y i

/ ilésîgluuit l'angle .r OM. Pour ([ue le point M fasse le tour de la ciicoiilV'rt'iuN» dans le sens de la llèehe, il faut l'aiie varier/ de 0 a 2-.

Donc

V = ttR r"^^ -I- R cos t)^ cos tdf, V = TZciHl /'cos fil(-]-2 r,a\\- f cos'- (dt -\- rR ' Tcos' ( df.

La première et la dernière intégrale sont nulles; en «llrt, dans rintervalle de 0 ii 2 iZy les fonctions cos/ et cosV prriniriii des valeurs deux à deux égales et de signes contraires; les éléments de chacune des deux intégrales ont donc deux à deux des sommes nulles, et les intégrales elles-mêmes sont nulles.

(hiiiiil il lacl('u\ième intégrale, en y remplaçant cos" / par