h cos

^ , elle clevient

I cos'^

1 r-, ,^ , , I l sin 2t 1 2 '^ l(/l ^-y I 1 4- cos 1 f dt ~ — / H y ^= it.

On a donc

Le volume est égal à Taire du cercle générateur multipliée par la circonférence que décrit le centre du cercle en tournant autour de l'axe.

Cas où le cercle coupe Taxe. — Si le cercle coupe Taxe (cercle pointillé dans la ligure :i8), a est moindre que R. L'inté-

grale

prise le long de la circonférence du cercle générateur dans le sens de la flèche, est égale ii la différence des volumes V, et V, engendrés par le segment ACj B et le segment B(!, A. On a donc alors, par le même calcul,

54. Centre de gravité d*une aire plane homogène. — Théorème de Guldin. — Quand un connaît le centre de gravité d'une aîre plane supposée homogène, on en déduit facilement le volume engendré par cette aire tournant autour d'un axe fixe Or de son plan.

(Commençons par rappeler les formules donnant le centre de gravité d'une aire plane.

Soit une aire plane homogène A, rapportée à deux axes O.r et 03,G son centre de gravité, et X l'abscisse G G' du centre de gravité. Nous allons montrer que Ton a

(5) k\^\Çx^dz.

l'intégrale étant prise le long de la courbe G qui limite l'aire, dans le sens de la ilèche [fi^j;. M) et 37).

En effet, décomposons l'aire A par des parallèles à 0.r en rectangles infiniment petits M' N' N" M" de hauteur d Zy et appelons .i' et x" les abscisses des deux points M' et M". Le centre de gravité G du rectangle, étant au centre de figure, a pour abscisse

D'ailleurs, quelle (jue soit la position des deux points M' et M' par rapport à l'axe, qu'ils soient tous les deux d'un coté comme dans la figure 36, ou l'un à droite et l'autre à gauche, comme dans la figure 37, l'aire du rectangle est

(.*•'— y Vr.

Le moment de l'aire du rectangle M' N' N" M" par rapport à () :: est donc

(.r'^x")dz Y

ou

l.(,r-^a"^)dz.

VOLUME Dis SOLIDI A /{ l S /■: S PARALLÈLES 9'>

La somme de ces moments étendue à toute l'iiire est

'] dz

m ;ij»|)rl;int -„ ri Zi les r- des points Mo «l M, sitih-s au plus bas et ;iii [dus haut de la courbe.

(Icttc somme étant égale au produit de l'aire totale A par l'abscisse X du centro de gravité, on a

Or, cette dernière intégrale est, comme nous Tavons vu plus haut, égale à l'intégrale

prise le long de la courbe limitant l'aire A, dans le sens de la flèche. La formule (5) est donc démontrée.

On trouverait de même l'ordonnée Z du centre de gravité G, par la formule

(6) kZ^l-Ç zhlx.

Théorème de Guldin. — Le ^^olume engendre par une aire plane A tournant autour d'un axe Oz situé dans son plan et (jui ne la traç>erse pas, est égal à l'aire A multipliée par la circonférence décrite par le centre de gravité de Vaire supposée homogène.

Va\ effet, nous avons trouvé (n** 51) que le volume engendré V est donné par la formule

Mais la formule (5 montre que l'intégrale du deuxième membre est égale à 2 A X, X désignant l'abscisse du centre de gravité. On a donc

i,G COURS D'ASAI.y^l

ce qui démontre le théorème, car 2 7:Xou2 7:GG' est la circoiiféronce décrite par le centre de gravité.

Cas où la courbe coupe Taxe. — Dans ce cas, la différence des volumes V, et V,, engendrés par les parties de l'aire situées à droite et à gauche de Taxe, est encore donnée par la formule

V, — V, = îî Çx'dz.

On a donc alors, d'après (5):

Ainsi, en appliquant à une aire qui traverse l'axe la formule fournie par le théorème de Guldin, on trouve la différence

Kn particulier, si on fait tourner une aire plane autour d'un axe de son plan passant par le centre de gravité, on a X =0,

ce qui signifie que les volumes engendrés par les deux parties A (], B et A (Ij B sont alors équivalents.

Le tore fournit un exemple simple de l'application de ce théorème. Nous avons trouvé en effet que le volume du tore égale l'aire A =::= -n R* du cercle générateur multipliée par la circonférence 2Tza décrite parle centre du cercle, qui est évidemmentson centre de gravité.

CHAPITRK IV

Hl'CriFICATION DES COURBES. — AlHI S DIS M lil ACKS DE RÉVOLUTION ET DES SURFACES CONIQUES.