I. — RECTIFICATION DES COURBES

55- Longueur d'un arc de courbe. — Pionons sur une courbe <lomn'<'. |>l;m«» ou (raurhr. <1«mix points A et B. I^ar définition, la Ion;^u«'ur (!•• Iiin- (Ir loiiilx' AB est la limite vers laquelle tend

]r jxiiinrtic (l iiiie ligne brisée AMjM,, ^'n|B inscrite dans

Tare, quand le nombre des côtés de cette ligne augmente indéfiniment, chacun d'eux tendant vers zéro (fii»". 39).

Nous admettrons d'abord que cette limite existe et est indépendant»' (!»' la loi suivant laquelle on lait tendre les cotés de la ligne brisée vers zéro. Nous admettrons, en outre, que la longueur de l'arc ainsi définie possède, comme un arc de cercle, cette propriété que le rapport de la corde ii l'arc tende vers l'unité quand l'arc tend vers zéro. Voici comment on peut alors obtenir facilement la différentielle de l'arc.

Soient

les coordonnées d'un point M de la courbe exprimées en fonction d'un paramètre /. Appelons s l'arc de courbe O'M compté

APi'i 1 1 . Aiialvse. 7

9» COURS D'AAALVSi:

il j);nlir d'iiiu' origine fixe O', prise sur la courho, juscju'uu point M : cet arc est évidemment une fonction de /. (^uainl on fait croître f de A/, les coordonnées r, //, - subissent des acci-oissements A.r, A//, A 3, le point M se déplace de M en M' et l'arc s croît d'iin arc M M^ égal à A.s-. On a alors

d'où

corde MM' = \/A.r'-\- ^î/'-h^z\ arc MM' An

corde MM' ^^.^2 j a,/- -\- A 3^

Quand A/ tend vers zéro, le rapport de l'arc à la corde tend

vers 1, comme nous 1 admettons; ~- — > — - — ? --^ > -— tendent

- , , . , fffi (l.r di/ dz -,

vers les dérivées — r- » —7- » -7^ > — r- •> et 1 on a dl dt dt dt

dt

on en déduit, en chassant le dénominateur, puis multipliant [)ar dt.

ds :== \/d.v^ 4- dy' + ^/::'.

(iflle lormuh; est aisée ii retenir, car elle exprime (jue l'ai r infiniment petit MM' est égala sa corde.

Voici cominciil on |kmU t'iahlir avec rigiHMir la (onnulo (lonnant la dillV'ronlit'lU' <lr larr. On |KHirra |>ass(«r ceH<> «Irmoiislralioii dans une pctMnit'ro lecture.

Soit, flans Irspacc. nnt- courl)»*, piano on içauclu', trlli' «pif 1rs roonionni'os

— nEcriiicAiiox DES coirues 99

rcclaii^ulalifs (11111 point de la courht' s oxjn'imciil .-n runcliori d iiii paraiiM'Ii»' / par les Irois ('(pialioiis

Suj)p(>sons (pu', / variaiil de a à A, les loiictioas /*, o, 'l soient continues et ;idinellent des di'rivées /' (/), cp'(/), 'l' {t) également continues; enfin, supposons que, / variant de a h h [a < hj, le point M {x, y, z) décrive un arc de courbe AB en se déplaçant toujours dans le même sens.

Prenons alors une série de valeurs de / comprises dans l'intervalle n, h et rangées par ordre de grandeurs croissantes

à ces valeur's de < corres|)()n(lent sur la courbe des points Mj, M, ,-M/j-i.

Nous allons déinoiilier i|ii(' le contour polygonal AM,M,....M„.iB tend vers nue limite cpiand, le nombre // augnuMilaiil indéfiniment, toutes les différi^nces

'i -('^ 'i — 'p ^■^—h^ > h — tn-,.

lendeiil vers zéro. Cette limite est ce qu'on appelle la longueur de l'arc AB. Pour (iénioiitrei- I existence de cette limite, remarquons que le côté M/.M/,-(-t a pour longueur

M,M,„ = V'l/V/^>. ) - A'/.-)]- + [? {^icu)- ? [h)f -I- ['\ (//.-n) - 4^ l'A-)]-^. Or. les rapports

tic+i — f/,- ' t/. + i — t/.-

tendriil vers les dérivées fit/;), ç\6.),.« qnand ti,^x — //,• tond vers zéro et, par

, I . ^Ïa^^/.+i . I 1 r •.

€onsequenl, le rapport tend vers la limite

Xous pouvons donc écrire

£/■ élaiil une cpiautité qui tend vers zéro en même temps que tk+i — //.. Telle esl l expression de l'un des côtés du polygone inscrit dans la courbe. Pour jivoir le [lériinèlre P de ce polygone, faisons la somme des côtés M/,M/,+t, en

lOO cou H s D A y A LYS E

(loimaiit suocessivemciit à A les valeurs o, ï, 2, , «— i el remarquant que

t,.=za, el /„ =: h. Xous aurons

f=:ù (7a-h - 1,.) \jr- [tL) + ?'- {h) + ^-- {tk) + 2: (/a+, - '/.) S/..

Quand le nombre des points de division /j, ,/h-i augmente indéfîniincnl .

chaque différence Z/.+i — f^ tendant vers zéro, la première somme tend vers l'intégrale définie

Quant à la deuxième, elle tend vers zéro : en effet, en appelant i un nombre positif égal en valeur absolue à celle des quantités Zk qui a la plus grande valeur absolue, on voit que la valeur absolue de S(^a:41 — '/.)î/tCst moindre que £S(^/i+i — tk), c'est-à-dire moindre B(b — a), car

d'après les hypothèses faites sur la nature des fonctions f, o, 'h, i tend vers zéro, quand toutes les différences ^a+i — t^ tendent vers zéro et la somme -('*+! — 'a)'* tt^nd bien vers zéro. Le périmètre P tend donc vers l'intégrale définie : cette limite de P est la longueur de l'arc de courbe considéré.

Si, au lieu de calculer l'arc AB tout entier, on avait calculé la longueur s d'un arc AM, M correspondant à une valeur de t comprise entre a et h, on aurait trouvé de même

d'où, en diil'érentiant et remarquant que

dx=f'{t)dt, dij = o' {t) lit, dz=^'[t)dt,

ds = ^/djc' + di/ -f dz' .

Voici quelques applications immédiates de ces formules. Nous en donnerons d'autres, notamment la rectification de l'ellipse, quand nous aurons étudié les développements en séries de puissances.

56. Chaînette. — La courbe appelée chainelte est la figure d'équilibre d'un fil homogène pesant suspendu par ses deux extrémités. Klle a pour équation [fig. 40)

Il l'A I iri( ATio \ I) i: s cor n n /■: s

a désignant une longueur, ('ette courbe est symétrique par rapport à l'axe 0// ; elle a la l'orme incli([iitM« sur la figure 39 ; Tordonnée du sommet B est égale à d .

(laloulous Tare BM:=:.s-. Nous prendrons ici l'abscisse comme le paramètre en fonction duquel s'expriment les coordonnées. On a

donc

ds = {^(h- + (t

yj

En développant la quantité sous le radical, on voit qu'elle est

le carré de e~<' -\-e^~" .

Donc

^/s = — fe« -\-e " \dA

Kn intégrant et remarquant que s doit s'annuler avec l'abscisse x du point M, on a

Il est aisé de construire 5 : en effet, on vérifie immédiatement la relation

coins D'ANALrSE

qui permet de construire .v comme côté de l'angle droit d'un triangle ayant pour hypoténuse t/ et pour autre coté a. Voici comment on peut faire cette construction : menons la tangente en M, l'ordonnée MP, et abaissons la perpendiculaire P(] sur la tangente : nous allons montrer que

En ert'et, l'angle t que fait la tangente en M avec O.r est tel que

(li, I / ± t.„g.__^-__.(^,«-.

donc, d'après la valeur de *•,

tanjrg--^^ — .

On en conclut, comme a^-{-s-—tf,

sin 7 =