COS

(]omme, dans 1? triangle MP(^, l'angle en 1^ est égal à t, on a

MC --=^ If sin T -^= Sy VC — // cos 7 ^-: a.

UKMAnQiR. — Si on appelle A Taire du segment OBMP, on a

d'où, en intégrant et remarquant que A s'annule avec .r,

ou encore

L'aire A est donc le double de l'aire du triangle MVC.

HKcnucAJioy des col hues loi

57. Cycloïde. — Calculons l'arc OM de la cycloïde [/i^^. 17). Kii appelant n l'angle dont le cercle a tourné, on a trouvé (n** 37) pour les coordonnées du point M

x^^ai^n — sin //) , ij = a ( 1 — cos //),

a désignant le ravon du cercle roulant. On en conclut

dx =^a (1 — cos //) (lu, dy ■-=^ a sin // dtt.

Le coefficient angulaire de la tangente est donc

dti sin ti n

—r- '-^-r- = cotang -7^-.

d.f 1 — cos it "2

Cette formule montre que la tangente coïncide avec la droite MB joignant M au point B diamétralement opposé au contact. Kn eftet, cette droite MB fait avec BI un angle moitié

de I(]M, c'est-à-dire égal à -;^ : elle fait donc avec O.r l'angle

TZ II ,.^ . , . , . Il

-^ T *^^ ^^*" coeliicient angulaire est bien cotang -tj-.

On a

ds =^ ^dx- -h dy- = rt v^(l — cos //)"+ sin- // du. Développant et remplaçant 1 — cos // par 2 sin'- -y, on trouve

d'où, en intégrant,

ds -^ 'lu sin -TT- (///,

s ^= — 4 rt 00s -7^ — |-C,

L'arc, étant compté à partir de O, doit s*annuler pour w =-=(); donc C =^ 4 a et

A- = arc OM = ^411 ( 1 — cos -^ j

H.î corn S D'ANALYSE

Va\ particulier l'arc O O', terminé au point le plus haut O' de la . cycloïde, correspond à w=7:. Donc

arc()0':^4fl.

Kkmahque. — Uarc O M est ê^al au double de la tangente M B. Kn effet

arc O'M =:: arc 00' — arc OM = 4 <7 cos -;j-. Le triangle rectangle I M B, dans lequel l'angle en B est -^j-, donne

MB = 2rtcos — ;

donc

arc O'M == 2MB.

58. I^arabole. — Soit une parabole rapportée à son axe Oy çt à la tangente au sommet O.r (fig. 41) :

On a

dt/ =: — duy ds = \/d:v^-\- dt/^ ^=i/ l 4- —j- dj\,

et, en intégrant,

*• = arc Om=:fi/i-\-'^da:,

Appliquons la fornxule d'intégration par parties I udt' = tw — I i>du en faisant

ni:ciiri(\iio.\ des coi'iinr.s

loS

Nous avons

V jr

La clcrnirre intégrale peut s'écrire

ou encore

.,-;.iog(-^+V^i + -;!)+(:.

On a donc

=.Vi+^-v+/'iog(^+v/^+7^)- ^■'

ou en résolvant, par rapport à s et remarquant que la constante C est nulle, car s s'annule avec .r,

, = 4.Yi + ^ + 4-/.iog(-;-+y^i + -;!).

Telle est lexpression demandée. Interprétons géométriquement les diverses quantités figurant dans la formule. Si on

io6 coins D AyAi.ysK

ahaîssc rordoiinée MJ*, <mi sait (juc le puinl T où la fanjrciilc v\\ M coupe O.r est au mili«'ii <l«' OV . Donc

OT — ir

Alois, comme // ^ .^r— ,

La projection du loyer F sur la tangente MT se Tait au point T, situé sur la tangente au sommet O.i'. On a donc

Portant dans l'expression de a-, on a

s = MT-h4ri<>g^