T -4- FT

AiM'MCA I ION. L(i vlulinelU' est le lieu <hi foijcr «Vitnc pniahole

Fi g. i-i.

(jui roule sans glisser sur un ave fixe, — Soit O'X Taxe lix<' : considérons une position de la parabole roulante, soit () son

ii/:<rirnATJO.\ ni^ i or nui: s 107

somnu't. ()// son ;i\c, ()./ l;i tangrnlc ;iu somiiu't, M le puiiit de contact av(H' OX, et 1' rintcrsection de O.r et ()X. Supposons (|ue rori^ine () soit le point avec lequel a coïncidé le sommet 0 dans le I oiilrmciit . d»' sorte que (/'V- 42)

()M = aic()M.

Le loyer F se projette en T sur (3'X : en ap[)('hml X et Y les oordonnéesde F par rapport à O'X et à la perpendiculaire C'Y,

<ni a

X = OT = O'M — Mï = iii c OM — MT ;

D'après l'expression ci-dessus (1) de l'arc 0M=:6', on a donc :

équation du lieu décrit par le foyer. On peut écrire :

on en conclut ;

ÏX

et, en ajoutant,

é(iuîition d'une chaînette, dans laquelle ar=-I—,

loH coins D'ASALYSf:

59. Rectification d'une courbe gauche. — Soit, par exemple, la courbe gauche tléfiiiie par les équations

(Cherchons l'arc n de cette courbe à partir de l'origine. On a

ds = \/d.v- 4- df -h dz:" ; dy ■=^ 2.rd.v, dz --^^ 2 x^dx.

ds = y/1 -f- 4 .r' -h ^ A-' cl, par suite, ds ^(1-^2 .r^) d.v et, en intégrant.

sans ajouter de constante, car on suppose que, pour .r = 0, s r^ 0. On a donc :

60. Différentielle d'un arc de courbe plane en coordonnées polaires, — Considérons une courbe plane rapportée il un système de coordonnées polaires r et e, OM = /•, .rOM =^(/ig. 43).

Les coordonnées rectangulaires .r et // d'un [)oint M sont données par les formules

r == /• cos h, y = /• sin 0.

Le long de la courbe .r, //, /•, 0 sont IVuictions d'un même paramètre et on a

d.c = cosft^/r — rsinQ^Q^ dy = s i n 0 dr — /• cos Ô d% , donc

ds == \/d.i^ -h dy* = yjdr" -\- i^d%'

i{ K ( ri j ICA 11 o y D i: s < orn n i: s

On peut rclroiiver rapulonieiit cette loiiiuilf' de la (acon suivante. Soit M' iiii point infiniment voisin de M ayant ponr coordonnées r-\-(lr et H-\- dH. Si on décrit de () eoinine centre nn are de cercle MP de layon /*, on a

PM' =: dr, arc PM = /v/O, arc MM' = ds.

(loinnie nn arc infiniment petit est égal à sa cord<', le liiangle infinitésimal MPM' rectangle en P, donne

MM'- -= M p-

dr- -f- r-dH-.

61. KxEMPLE. Cardioïde. — Soit nn cercle de diamètre ti, 0 un point de la circonférence. Prolongeons chaque rayon

Fig. 44.

vecteur OP du cercle d'une longueur constante égale au diamètre du cercle (/fy. 44)

PM = a.

Le lieu de M est une courbe appelée cardioïde. Kn prenant le diamètre OA comme axe polaire, l'équation de la courbe est

Alors

/• =z a{i -\- cos 9)<

ds = a V^sin- 8 + (l + cos Hf (/9,

rt 4/2 (1 H- cos 8) f/0 =2 a cos -y d^.

(, {01 lis DWSALYSE

I/îirc A M — .V qui s'annule avec 0 est donc

4 a sin — .

La longueur d'arc AMO, correspondant à 0 = tt, est donc arc AMO = 4 r/.

II. — AIRE D'UNE PORTION DE SURFACE DE RÉVOLUTION COMPRISE ENTRE DEUX PARALLÈLES

62. Formule générale. — Prenons comme axe des - Taxe de la surface de révolntlon. Le plan des .vz coupe la surface suivant une courbe appelée méridienne de la surface. Prenons sur cette méridienne un arc continu AB situé du côté des r positifs; nous nous proposons de calculer Taire enjrendrée par la révoluti(»n

de AB autour de Or : cette aire est limitée par les deux parallèles A^iA' et BAB décrits par les p(unts A et B. Nous avons représenté sur ia fijrure \'t le cpiart de l'aire, cpiart situé dans le diètlre formé par les [)lai]s rO.r et rO//.

Inscrivons dans l'arc ABune ligne polygonale AM,Mj... M„.,B : cpiand la ligne AB tourne autour de Or, la ligne polygonale engentlre un<' aire composée de la somme des surfaces latérales

if/i/-: ij'i y/-: sini aci: di: ninoij'rios m

(lo n IfoiK's (le toiu'. L'aire cntreiuliôr pai- Tare \\\ est, par tléfiiiitioii, la liinltc vers laquelle tend l'airr nioeiulréo par la ligne p()l\ noiialr iiisei'ite (juancl le nonihrr // de ses côtés augmente iiid«'[iiiiin»'iil. cliaeun dVux tendant vers zéro.

Suicnl Met M deux sommets conséeutifs de la ligne polvgonale avani pour ahseisses ./• et .r -f" ^•^" ? •^' = ^\W f -{- \.r ^^ Ml*'. l/aiic riignidice par la droite MM' est égale ii MM multipliée par la dcrui-soinnie des eireonférences des hases du tronc

li'aîre cherchée A est la limite de la somme des quantités analogues évaluées successivement pour tous les côtés de la ligne polygonale :

l) A = lim y 2 tL- + 4^) MM'.

le signe S indiquant qu'il faut Caire la somme des quantités qui le suivent.

Soit As la longueur de Tare MM'. Considérons la somme

étendue aux difFérents arcs sous-tendus par les côtés de la ligne polygonale. Nous allons montrer que cette nouvelle somme (2) u même limite que la première (1) quand les côtés de la ligne polygonale tendent vers zéro.

Kn efVet, dans la somme (1), tous les éléments ont le mémo signe ; le rapport d'un élément de la somme (1) à Télément correspondant de la somme (2

•' "^ 2 MM'

MM' ,

tend vers 1, car A.r tend vers zéro et —r— est le rapport dune

lia COURS D'ANALYSE

corde à l'arc sous-tendu. Donc, d'après le théorème fondamental sur les sommes d'infiniment petits [n^ 4), les sommes (1) et (2) ont m<^me limite et on a

A = limV2T:.rA*'.

dette dernière limite est l'intégrale | Ir^.vds : on a donc, en faisant sortir 2r du signe d'intégration.

(]ettc dernière formule est aisée à retenir : elle exprime que l'aire A est la somme des aires des troncs de cône engendrés par les éléments d'arcs infiniment petits ds.

Pour calculer effectivement A, on exprimera les coordonnées ./• et 3 d'un point M de la méridienne AB en fonction d'un paramètre A/, do l'acon que le point M (.^,3) décrive l'arc AB quand w varie de //„ à //, :

on a alors

ds = Vd.i- 4- (izr = y//*'- {a) + 6'' {ff) du, et

K==:.l,z( "'f(n) \Jf' (//) 4- 'V' ('0 du.

*^ ut