Aire d'un ellipsoïde de révolution allongé. — Soit
l'équation de l'ellipse méridienne OBA dont nous figurons le quart : le grand axe OA ^^ a de cette ellipse est dirigé suivant l'axe de révolution O". Xous pouvons exprimer les coordonnées d'un point M de l'ellipse en posant //'a'. "«<>
.r = h cos II, .z = a sin //, et, pour que le point M décrive l'arc BA, il faut ,y
faire varier ii deOà -^. On a
Fig. .\G.
ds = ydj' -\- dz' -■= y 0'- sin- ii-\-a^cos^ u du,
APPELL. Analvse.
Il/, COURS D'ANALYSE
OU, en remplaçant cos'^// par 1 — sin-u et introduisant l'excen-
tricité e = — V^rt* — />»*,
ds = a V i — e'- sur u du.
Alors l'aire A = 27r j .ids^ engendrée par Tare BA, est
A -^= 2 t:*-/ /> / v'I — c^ sin^ u cos u du.
Pour évaluer cette intégrale, faisons un changement de variable en posant
e sin u = sin / ;
u partant de 0, nous prendrons pour t la valeur 0 ; // croissant, /croît, et, pour /< = -ir-, / prend une valeur f^ définie par
e = sin /j, t^ = arc sin^».
On a alors
e cos u du = cos / df,
V 1 — e'- sin- // = cos/,
. 2r.ulj r^i , .
A = / cosU dt,
c Jo
Hemplaçant cosv par ir , on voit que 1 intégrale mdé-
r • ^ / , sin2/
finie est -77 H -, — , et Ion a
. Tz ah r sin 2/, 1
Remettons pour /, sa valeur arc sine, en remarquant que sin 2 /, = 2 sin /, cos /, = 2 e/ 1 — e*,
il vient enfin, pour l'aire du demi-ellipsoïde,
. /arc sine , ,-, r-X
A = 7Cû6»( l-vl — c^ j.
AIRE D'iyF SURFACE DE REVOLUTIOS ni
Comme vérification, on doit retrouver l'aire d'un hémisphère
de rayon a en faisant b ^=a et, par suite, e = 0 : effectivement on
- arc sine ,
a alors = 1 et
65. Aire dun ellipsoïde de révolution aplati. — La méri dienne est une ellipse AB ayant pour petit axe l'axe de révolution Oz; son équation est (fi^'. 47)
On peut écrire, pour les coordonnées d'un point M de la méridienne,
r = a cos ?/, z^=h sin //,
u variant de o à -^ quand M décrit l'arc AB. if
Alors ^ ^'^- ^7.
ds = /a- sin- u + b^ cos" a du, ou, en remplaçant cos';^ par 1 — svvru et introduisant le rapport
ds=b^i-\-f'sin'uclii.
On a donc, pour l'aire du demi-ellipsoïde,
A = 2 7ï / jcds =2tz ab j ^i -}- /*=^ sin^ // cos // du.
En désignant par e la base des logarithmes népériens, faisons le changement de variable
/"sin // =
sinhyp/;
Il partant de 0, f part de 0 ; m croissant, t croît, et, pour u = -^, t prendra une valeur /, définie par
^=i::=£n, ,,=iog[/-+vT+7].
Comme
^l+/-sin-,/==y/l| ^ j __in ,
f cos II dii= K df,
A =^ Ç\e' + e-'fdl = ^ f''i2+e'-' + e-^')
rf/,
D'ailleurs
^ =2/-Vl+A
on peut donc écrire enfin
Comme vérification, quand h tend vers «, f tend vers 0, et on doit trouver l'aire d'un hémisphère de rayon a. KfTectivement, quand f tend veré 0, la parenthèse se réduit à 2 et on a
A = 27ca^
66. Aire d'un tore. — Le tore est engendré par un cercle tournant autour d'un axe O::. Supposons que le cercle ne coupe pas l'axe (//^^ 38) et prenons comme origine la projection du centre G du cercle sur l'axe de révolution. Soit OG =^ a ci soit R leravon
AI m: lyr.xF suri-ack de RÉvorATi on 117
GM du (M'irl(» nciHMîihHir. L'airo du tore est étralo à rintéorale
prise tout le long du cercle C. En appelant t l'angle de GM avec Or, on a, pour les coordonnées de M,
.r = <7 -|-R cos /,
y =r R sin /,
et. poiii' que le point M décrive la circonférence, il faut faire vai ior / de 0 à 2-. On a évidemment
donc
A = 2 t: Ç.r<h == 2- R p '(« 4- R cos t) dt.
L'intégrale indéfinie est «/ H- R sin /, et l'intégrale définie 2 r.a. Donc
A = 27:R.27:rA==4 7r-rtR.
L'aire A est donc égale à la longueur de la courbe qui tourne (2-R , multipliée par la circonférence que décrit le centre de gravité de cette courbe (2 7i«). C'est là un cas particulier d'un second théorème de Guldin (n** ^^).
67. Cas où la, courbe traverse Taxe. — Dans ce qui précède, nous avons supposé que la méridienne AB de la surface ne traverse pas l'axe. Supposons qu'elle le traverse au point E. Alors on évaluera séparément l'aire A,, engendrée parla rotation de l'arc AE, et l'aire A,, engendrée par la rotation de EB. Pour un point M de l'arc AE, l'abscisse .r est positive. On a donc (fig. 48)
t/,'AEj
Fig. 48.
l'intégrale étant prise de A en E. Pour un point M^ de EB,rabs-
,l8 COURS D' ANALYSE
cisse .r^ est négative. L'élément ^/s placé en Mj engendre la surface latérale d'un tronc de cône, dans lequel le rayon de la circonférence équidistante des bases est — .r,. L'aire de ce tronc de cône élémentaire est
— 2 T.x^ds,
et l'aire A^ engendrée par ?2B est
