AE) «^(EB
La somme des deux intégrales du deuxième membre est évidemment l'intégrale 2r. j .rds prise le long de la courbe de A
en B.
Ainsi, dans ce cas, l'intégrale
2 TT / .rds,
AB
qui représente l'aire totale quand la méridienne AB ne traverse pas l'axe de révolution, ne représente plus que la différence des aires engendrées par les arcs de méridienne placés de part et d'autre de l'axe, (^ela se voit d'ailleurs a priori , car, dans la somme
..fxds,
le facteur ds est positif, mais r est positif ou négatif suivant que l'élément ds est ii droite ou à gauche de Taxe Or. Les éléments d'aire, provenant d'éléments linéaires ds situés ii droite de O ::, entrent donc positivement dans celte somme et les autres négativement. Par exem|)le, pour le tore, quand le cercle générateur coupe l'axe (cercle pointillé de la ligure 38), l'expression
Aiui: i)'r\/: srnFAcr: ni: hevolutios 119
représente la différence des aires engendrées par les arcs CietCj.
68. Centre de gravité d'un arc de courbe plane supposé homogène. Théorème de Guldin. — Soit un arc de courbe pbiiic A \^ supposé homogène, rapporté à deux axes Or et Or. Soit G le centre de gravité z (le cet aie, X et / ses coordonnées. Si on prend sur la courbe un élément ds, le moment de ds ^ par rapport à Oz est .tels ; la somme algéhricpie de ces moments est (fi^. 49)
l'intégrale étant prise sur l'arc AB. D'autre part, en appelant / la longueur totale de l'arc, la somme de ces moments est égale àX/. On a donc
\l=l\i'ds.
^(AB
On trouverait de môme, en prenant les moments par rapport i» O.r.
Zl
= fzds.
c/(AB)
Ces formules déterminent les coordonnées du centre de gravité G de l'arc. Elles conviennent, quelle que soit la position de l'arc AB par rapport aux axes.
Théorème de Guldin. — L'aire engendrée par une Ligne plane, lournant autour d'un axe situe dans son plan et ne la traversant pif s, est égale à la longueur de la ligne multipliée par la circonférence (jt'.e décrit le centre de grasnté de la ligne supposée iioniogcne.
En effet, l'aire engendrée par la ligne AB est, d'après ce qui précède.
= 2 TT / xds\
»^(AB
,2o COURS D' AXA LYS E
mais riiilégrale du second membre est égale à X /, on a donc
A=/.27zX,
ce qui démontre le théorème, car 27rX est la circonférence de rayon X = GG' que décrit le centre de gravité en tournant.
Cas où la méridienne AB traverse Taxe. — Dans ce cas, Li di/Jérence des aires eni^endrées par les parties de la méridienne A B situées de part et d'autre de l'axe est donnée par la même intégrale
t/(Al
rds^
(ABJ
qui est toujours égale à
