A = P,M,M— MR^F

Fîg. 5.

Cds où .V est inférieur à a.

Si v était inférieur à a [fig. 5), les différences

représenteraient les bases des rectangles inscrits changées de signes ; dans la somme

Sf{x)\x

les aires des rectangles à ordonnées positives entreraient donc négativement et inversement.

L'expression

jf x)dx

représenterait alors la différence entre les aires inférieures et les aires supérieures : M' RjNF — PMM — M'^ M„ P„.

Dans tous les cas, nous conviendrons d'appeler cette expression la imleur algébrique de Faire P^ M^, MP.

Remarque. — Les définitions précédentes s'étendent d'ellesm^mes au cas où la fonction /^(.^) présente des discontinuités en nombre fini entre a et x. La courbe 1/ == /*(.r) a alors une forme

K Pj

Po H

Fig. C.

comme celle de la figure 6, où il y a deux discontinuités pour les deux abscisses OU et OK. L'aire de cette courbe a une valeur parfaitement déterminée, donnée toujours j^ar la formule I /*(.r) d.r ; en supposant a<a:, elle est la somme algébrique des aires 1, 2 et 3, où l'aire 3 est négative.

8. Aire d'un segment en coordonnées obliques. — Soit une courl)e

rapportée à des axes 0.r et 0// faisant entre eux un angle 0 (fig. 7).

Considérons un segment limité par un arc de courbe M, M, les deux ordonnées extrêmes ]\I„ P^ et MP et par l'axe Or. On voit, par des raisonnements identiques aux précédents, que l'aire

de ce segment est la limite vers laquelle tend la somme des porallèlogrammes inscrits ayant leurs côtés parallèles aux axes. Si l'on appelle y l'ordonnée qui constitue un côté d'un de ces parallélogrammes et A.r le segment d'axe O.r qui constitue l'autre côté, l'aire de ce parallélogramme est

ij A.r sin 8.

On en conclut que la valeur algébrique A de l'aire considérée est la limite de la somme

S [y A.r sin 0] = sin 8 S?/ A.r, car sin B peut être mis en facteur dans la somme. On a donc enfin

A = sin 8 1 ycLv d'après la notation précédente.