Différentielle du premier ordre, — Soit

une fonction d'une variable indépendante x. Donnons à x un accroissement arbitraire //, y prend un accroissement

et le rapport

\y fU^h)-f[^)

tend vers la dérivée f\x) quand Ji tend vers zéro. On peut donc écrire

i étant infiniment petit avec //, ou encore ltj=hf'[.r)+ln.

Cette relation montre que, si x ne possède pas une valeur

APPELL. Analyse. a

i8 COURS D'ANALYSE

particulière rendant nulle ou infinie la dérivée f'{x), A?/ est infiniment petit du premier ordre par rapport à h et admet pour 'partie principale

hf'ix).

Cette quantité s'appelle différentielle de y ; on la désigne par dy.

Définition. — La différentielle d'une fonction y d'une variable indépendante jc est égale à la déri{>ée de la fonction multipliée par un accroissement arbitraire attribué à la variable

OU encore

Cet accroissement h étant supposé infiniment petit, dy est la partie principale de A// ; on peut donc, d'après les deux théorèmes l'oiidamentaux, remplacer Ay par dy toutes les fois que l'on veut chercher la limite d'un rapport ou d'une somme d'infiniment petits où figure Ay.

Kn particulier, la différentielle de la variable indépendante elle-même x est égale à sa dérivée 1 multipliée par // :

dx = //.

Remplaçant h par dx^ on écrira l'expression de dy sous la forme

ou