IV. - QUELQUES INTÉGRALES SE RATTACHANT AUX PRÉCÉDENTES

79. Intégrales d*un produit de sinus et de cosinus. — lo Soit d'abord une intégrale de la l'orme :

I cos [a.i -f- %) cos [bx -\- 3) </jr,

où a y h y a et ^ désignent des constantes. On remplacera le produit de cosinus par une somme, d'après l'identité

cos

X cos a = -;j-| cos Çk -{- jjl) -\- cos (a — |jl) L qui donne (l) cos{ax -h a) cos (^.r -h ^3) = -^^ cos[(rt + />»).r-|- a -f-3]

+ cos[(«— h)jc-\-y.— P] .

D'où on tire immédiatement

1 sin[(./-t-^>).i'4-«-ha

2 a-hb

l cos(rt.r + a)cos(/Ar -f- 3)^.r =

J sin[(;^— />).r-f- g — a ■^ 2 a — b

Cette intégrale change de forme quand « + ^ ou a — /> est nul. Par exemple, si b = a, v disparait dans le deuxième cosinus du second membre de l'identité (1) et on a

I cos {a:v -|- a) cos [ax -f- ?) ^^-^ = —

l sin (2 flrx -h a + ?)