cos(a
^^■J. corn S D'ANALYSE
2" lin partant de l'identité
sinA sin jjl = —y- [cos(). — jx) — cos(a -\- {jl)],
on trouve de même pour
1 sin (<7 r -j- a) sin [b.r -f- ^)(I.Tj l'expression
1 sin[((i^— h) .r -4- g — j^] 1 sin [(^ -(- h) .r -|- a -f- ?] "2 ;r=^Â 2 7+71
qui change de forme, quand h =: a ou h =^ — a. • Si h =r. ciy on a
/ sin [ri.r -+- a)sin («.;• + '^)(l.f = -:y.Tcos[oL — j^) 1 sin(2r/.r-ha + ^)
:î*' Enfin, ridrnlih'
sin^cosa = -:r-[sin(A + jjl) -{- sin (a — u)],
donne de même pour l'intégrale
/ sin (<^/.*- -\- a)cos(/Ai- -|- fi)^/.r, l'expression
1 cos[(a-i-/^) ■<•+«+ ?>] 1 cos[(^/ — A).r + a — ft]
qui change de forme pour « = it />, et qui devient, pour a = A,
1 cos(2./.r-f-a-h?) !.. ,.
~T 27;^ --+-^xsin(a-A-
4° Si Ton a une intégrale portant sur un produit de plusieurs sinus et cosinus d'r.rcs linéaires en .v comme les précédents, on
QVELQl/ s MKTHODES D'I NTÉGRATI OS i/JÎ
rcinplîHM' (M' proflmt par imc soiimir <!<' sinus et cosinus : l'intégralioii est alors imiiH'dialr.
Par exenipli", si le produit conipimcl trois fiicteurs.
COs7 COSJJLCOS V,
où
A = (1,1 -f- a, jJ- = l>'i -f- [^' V = r.r -f- r,
on remphuc (ralxncl cos). cos u. par une somme
1 ,. .1 COSAcosjJL = -y-cos(Â -f- ;jL H (OS /. — ;;. ;
en multipliant pai eosv, on a deux produits qu'on remplace,!» leur toui , |iai des sommes
cos(a-(- ;jl)cosv =-— cos(âH- a + v) -\ — yCos'A-f-a — v),
cos y. — 'X cos V = -:t- cos (a — \^ -\- ^*} H i^-^^os \J^ — ijl — v .
On a donc finalement
cos A cosjJL cos V = — cos (a -h a H- v) 4- -7- cos (a -j- ul — v)
H- -T-COS(A ;JL -|- V; + -j- COS (A ;JL V).
L'intéfrration est alors immédiate.
80. Puissance positive d*un sinus ou d'un cosinus. — La méthode que nous venons de donner pour trouver l'intégrale d'un produit de sinus et cosinus, s'applique évidemment quand plusieurs facteurs du produit deviennent égaux. Supposons-les tous égaux, nous aurons une intégrale de la forme
ou
1 cos'" a.r -f- a) (^^^ Tsin'" [ft.r -^ 7.^/./,
l44 COURS D'ANALYSE
m étant un entier positif.
Si l'on fait
CCS intt'gralcs deviennent
— / cos"'w du. — / sin'"// du.
Pour les évaluer on remplace cos'"// et sin'"« par une somme de cosinus et de sinus des multiples de u. Les expressions de cos"'/i et sin"'« par des sommes peuvent se calculer de proche en proche; par exemple :
cos"/<= -jT — I ry-cos Au ;
multipliant par cos?/ et remplaçant le produit cos//cos2// par une somme, on a
COS « = -Tj-COS// -\ T-COS J U -f- -7-COS u
== —J- COS // -j 7-COS Ci u .
Multipliant par cosm et remplaçant chaque terme du second membre par une somme, on acos*//; et ainsi de suite. On peut opérer plus rapidement comme il suit. Posons
COS // H- / sin u = )v, COS // — / sin // = u,
d'où, d'après la formule de Moivre,
cos'/i// H- « sin/i// = ).", cos/^// — /sin/t// = |ji"
On en conclut, par addition et soustraction,
C08// = -j(X + a), sin// = -27-(^ — 1^)>
cos/tM = -^ (X" -h {x"), sinw// = -^ (A" — ja").
QUELQUES METHODES D' I yTÉGRATIO S i45
On a donc, d'après rexpression de cos // ;
Dans cette formule, on développe ( ^ -h li.)"' par la formule du
binôme et on réunit les termes qui ont mêmes coefficients : le
premier et le dernier, le deuxième et Tavant-dernier, etc.. Or
on a
X»'4- jl'" = 2cos/w//,
);» - ' -f- |i»» - ^ = 2 cos [m — 2)u...
cos'"// =-;^^ 2 cos mu -\- 2m cos [m — 2)//
H —:y ^cos [m — 4)// -h ... .
L'intégrale 1 cos'"// du s'obtient alors immédiatement.
Exemple. — Soit à calculer
[ cos^ u du.
On a
cos*// = -i^(X + l^r = -^[A^ + l^*+4X;x(r-+ ix^) +
d'où cos*// = -7?-(cos 4 // -f- 4 cos 2 // + 3).
On en déduit immédiatement
JcosUi du = -l-(Jlî^ + 2 sin 2 // 4- 3 //W C'.
On calcule par la même méthode
I sin'"// du ; APPELL. Analyse, ïO
i46 COURS D'ANALYSE
il suffit de partir de l'identité
et d'élever les deux membres à la puissance m en remplaçant ensuite les termes tels que )/ + ^^' par 2 cosjju et les termes tels que X* — {t-'' par 2isin (jn.
Nous verrons plus loin que les quantités X et m, peuvent être écrites
d'après une formule due à Euler,
e"' = cos II -\- i sin m.
81. Remarque sur V intégrale l cos'"« sin^'w (/«. Pour calculer l'intégrale
I cos"*// sin''//<///,
où /;/ et p sont des entiers positifs, on peut remplacer cos'"// et sin''// par des sommes de cosinus et sinus des multiples de //. Kn faisant le produit de ces deux sommes, on aura à calculer (!cs intégrales de la forme
I cos nu cos n' Il du,
l cos nu sin n'udu.
Quand un des exposants /// ou/> est impair, le calcul se simplifie. Soit, par exemple, /// impair : /// =2 // + 1. On écrira l'intégrale
j cos'"// sin'// //sin //, ou, en posant sin // = /,
J(l,.)Vrf,,
intégrale que Ton calcule immédiatement après avoir développé
QUELQUES MÉTHODES D'INTÉGRATION i47
(1 — t-f par la formule du binôme. De même, si p est impair, on fait cos //= t.
I1\i:mi>le. — Soit:
I cos'w sin^ H du.
En posant sin u = ^, on a
J(l — t^fi'dt =J(^» — 2 i« 4- t')dt,
c'est-à-dire
V. — INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES RATIONNELLES PAR RAPPORT A X ET A \/ ax'^ -[- bx -\- C-
82. Mèthade. — Imaginons une fonction rationnelle R (^,y) de .r et de
y z=z \/ajc- -\- Lv -\- c.
Nous allons montrer que l'intégrale
fR[.r,!,)d.v,
peut t^tre ramenée à l'intégrale d'une diflerentielle rationnelle.
Pour cela, nous distinguerons deux cas suivant que a est positif ou négatif.
