Cas de <i positif. — Supposons a > 0. Nous écrirons

// = Va sjx^ + px 4- </.

Désignons alors par u une nouvelle variable, et posons

i48 COURS D'ANALYSE

Élevant au carré et supprimant les termes x^ dans les deux membres, on a

(2) pa:^q = ^2iLv-]-u\ x= 2// + y! ' Remplaçant .r par cette valeur dans l'équation (1), on a

(3) »/a-^ +pa^+ q = 2;+i> •

De cette façon, .r et y sont des fonctions rationnelles de u. En différentiant l'expression (2) de Xy on a

(4) ^,= 24+4|^rf«.

Si alors, dans l'intégrale proposée

jR(.r,y)</.r,

on remplace .r, y et dr par leurs valeurs ci-dessus, elle se transforme en l'intégrale d'une diflerentielle rationnelle en ii.

Exemple. — Soit h trouver l'intégrale :

rdx

Si l'on fait

\^X^ -i-2X-\-3 =X — lly

on trouve

, Vx' -h 2 .r -h 3 = —

rf.r = 2 — TTT — :r- — <///.

L'intégrale I devient donc

2fhi

r 2 dit "J /i«— 3 '

QUELi>l/s MÉTHODES D'INTÉGRATION l49

Décomposant la fraction rationnelle en fractions simples, on a

Lr J Ul

OU, en revenant h la variable .r,