Cas de a négatif. — Quand « < 0, on peut écrire

y =yj ax^ -\-bx -\-c =\1 — a y/ — x- -\- ]k

en mettant en facteur y/ — a qui est réel. Pour que la valeur de y soit réelle, il faut que le trinôme — x'^ -\- p x -{- q ait des racines réelles et que x soit compris entre ces racines. Appelons a et 1^ les racines de ce trinôme, a étant supposé moindre que ^. On peut écrire

V/— x^-^px + 7 = \/{x- — a)(? — :r), a ^ X ^ jS.

Posons alors (5) X — a = (j3 — x)ii'y

Il désignant une nouvelle variable. Nous avons

quant au radical, il devient

i5o COURS D'ANALYSE

OU, en remplaçant r par sa valeur (6),

(7) \/(.'r ~ a)(fi -^ ^) = (? - a) y^p^ Enfin la relation (G) donne

Par ce changement de variable, l'intégrale proposée

devient donc l'intégrale d'une différentielle rationnelle en u.

Exemple. — Soit à calculer l'intégrale :

-J U — l) JU

(.-r-A)v^(.r a)(fi-.r) où

et où X est extérieur à l'intervalle (a, |^).

Nous supposons, pour fixer les idées, ). < a.

Fin faisant la substitution que nous venons d'indiquer, on trouve

r 2 (lu

J a-A-|-(fi — A)//^ '

// ^^ r, arc tanff w/\/-^- ^ )+ (^''

En particulier, si l'on voulait l'intégrale définie '5 da

II = r — ^'^

la formule du changement de variable

QUELQl ES MÉTHODES D'INTÉGRATION i5i

montre que, u variant de 0 à oo , .r varie de a à [i. On a donc

2 du

Nous venons de calculer l'intégrale indéfinie J : l'intégrale définie II est la difïerence des valeurs que prend J pour ?^ = 0 et

pour u = X. Comme arc tang 0 = 0, arc tang x = -;r , on a

v/(a).)(fj-).) 85. Cas de a nul. — Si ^ est nul, on a

On fera

2udu

hx -\- c =11- y y = u, dx =

et la différentielle

'R{x,ij)dx

deviendra rationnelle en u.

86. Interprétation géométrique du changement de variable employé. — Voici comment on peut interpréter géométriquement les substitutions qui nous ont servi à ramener l'intégrale

jR(.r, //) dx.

ou

y = slax- + bx

à l'intégrale d'une fonction rationnelle de «, et comment on peut trouver d'autres substitutions permettant d'arriver au même résultat.

Si l'on considère x et y comme les coordonnées cartésiennes d'un point M, l'équation

y ^= >jax^ -h ^^•'* + <^S

i5a COURS D'ANALYSE

représente une conique. Pour ramener l'intégrale

Jr [x, y) dx,

h l'intégrale d'une fonction rationnelle, il suffit d'exprimer les coordonnées x et y d'un point M de cette conique en fonction

rationnelle d'un paramètre u. Pour cela, prenons un point fixe quelconque M^^ sur la conique (^g. 53), ayant pour abscisse 0*^ et pour ordonnée

y^=s/ax^^^ bx^ H- 6- ;

puis coupons la conique par une sécante variable Mo M passant par M. Cette sécante a une équation de la forme

Comme elle coupe la conique en un seul point variable M, les coordonnées x et y de ce point M s'expriment rationnellement en fonction de //. On voit qu'il y a une infinité de façons de réaliser la transformation de l'intégrale en une intégrale d'une fonction rationnelle, puisque le choix du point Mo est arbitraire.

Il est aisé de voir que les substitutions employées dans les numéros précédents rentrent, comme cas particuliers, dans celles que nous venons de définir.

Prenons d'abord la conique

c'est une hyperbole équilatère (fig. 54, I), dont les asymptotes

QUELQiJ s Ml IIIODES D'I yTÉ GRATI ON i53

sont parallèles aux bissectrices des angles des axes. Nous avons posé

\/x^ -[-px -\-fJ=X—U,

ou

Cette dernière équation, dans laquelle u est variable, représente une droite mobile parallèle à l'asymptote C A, c'est-à-dire passant par un point M^ de l'hyperbole rejeté à l'infini dans la

Fig. 54.

direction CA. Cette droite ne coupe la courbe qu'en un point variable M, dont les coordonnées s'expriment dès lors rationnellement en II.

Prenons ensuite la conique

ij = V—x' -{- px-\-q .

Pour qu'elle soit réelle, il faut que les racines du trinôme soient réelles ; on peut alors écrire

Cette équation représente un cercle (fig. 54, II), ayant son centre sur Ox et coupant cet axe aux points A' [x = a) et B' [x = P). Nous avons posé

d'où

i54 COURS D'ANALYSE

Cette dernière équation représente une droite B'M', passant par le point fixe B' du cercle et coupant le cercle en un seul point variable M'.

87. Remarque sur les courbes unicursales en général, — Étant donnée une courbe plane algébrique

on dit qu'elle est nnicnrsale^ quand les coordonnées .r et // d'un quelconque de ses points peuvent être exprimées en fonction rationnelle d'un paramètre //. Telles sont les coniques, les courbes du troisième ordre avec un point double, les courbes du quatrième ordre avec trois points doubles ou un point triple. Si l'on veut calculer l'aire d'un segment ou d'un secteur d'une de ces courbes, on est conduit à calculer des intégrales de la forme

Jijd^v, f(-rdt/ — ydx).

le long d'un certain arc de la courbe. Comme .r et y peuvent être exprimés rationnellement en fonction de ?/, on voit que, en introduisant cette v;nia])le //, on sera ramené à intégrer des fractions rationnelles en u. Il en est de même, si on a à calculer, le long d'un arc de la courbe unicursale, une intégrale de la forme

R étant une fonction rationnelle de x et //

88. Exemple. — On peut ainsi ramener à l'intégration d'une fonction rationnelle l'intégration d'une différentielle de la forme

K,r"-\- B.r''-4- ... H-Lr' ,

A>«'|BV-f...-hKV'

ou A,B,...,L,A',B',.--,K' sont des constantes, ayfjy...yl,a\h\...^k'y des exposants commensurablcs, entiers ou fractionnaires, positifs, négatifs ou nuls. Il su (lit, pour cela, de réduire toutes les frac-

QUELQUES MÉTHODES D' ISTÉGRÀTIO S i55

lions (i,hy...,l,a' ,h,...^k' au môme dénominateur o et de faire ensuite

X = lâ , <1x = on^~~^{lii.

Tous les exposants deviennent alors entiers et la difTérentielle devient rationnelle.

Ainsi soit à calculer :

1 1 Les exposants de r sont-:y et — ; en les réduisant au même déno-

1 ,.32 mmateur, on peut les écrire — et — r; on iera alors

.r = //*, d.r = 6 n^duy

et l'intégrale deviendra

qui est l'intégrale d'une fonction rationnelle. Géométriquement, on peut dire que la courbe

est unicuFsaley puisque la substitution r ^= lâ donne .r et y en fonctions rationnelles de u.