VI. - INTÉGRALES DE DIFFÉRENTIELLES BINOMES
89. Cas d' intègrabilitè. — Une difTérentielle binôme est une diflerentielle de la forme
x'\a + hx'^f dx,
OÙ a et h désignent des constantes quelconques, m, n etp des exposants commensurables, entiers ou fractionnaires, positifs, négatifs ou nuls.
L'intégration d'une différentielle binôme
peut être effectuée, à l'aide des fonctions élémentaires, dans
chacun des trois cas suivants ;
1^ p est un nombre entier, positif, négatif ou nul ;
1^ est un nombre entier, positil, negatil ou nul ;
30 \- p est un nombre entier, positif, négatif ou nul.
Nous allons traiter le premier cas ; puis, nous verrons que le second cas se ramène au premier, et le troisième au second, et par suite au premier.
Premier cas. — Supposons p entier. Tout d'abord, si p est un entier positif, on développera [a -\- bx'^f par la formule du binôme, on multipliera le développement par .r^V/.r et on sera ramené à l'intégration d'une somme de termes de la forme
Exemple. — Soit à calculer :
fx~~U-\-x'A dx.
Développant le cube
f 1 4-.r 6 j = 1 | 3.rT -1-3 .rT + a;T,
et multipliant par r '^dx, on est ramené à calculer
J ( x"t |-3 .r-T 4- 3 .t"T 4- -^dx ,
QUELQUES MÉTHODES D'I NT ÉGRATIOy iSj
intégrale qui est égale à
•^ 2 x~T — 9 ^ "3" — 18 .r~T 4- log r + C'\.
— Supposons ensuite yy entier, mais nci^atif. On ramène alors l'intégrale I à l'intégrale d'une fonction rationnelle comme il suit. Les exposants m et n sont des fractions positives ou négatives ; réduisons-les au même dénominateur et soient, après cette réduction,
Faisons le changement de variable
j; = «^ , on en conclut
:r"' = if'^ , .r" = u\ dx == \u'-^du,
et l'intégrale devient
\Çu'^-^^^-\a-{-hn^'fdu,
où tous les exposants \ -\- [jl — ij v, /^ sont entiers, positifs ou négatifs ; on est donc ramené h l'intégration d'une fonction rationnelle.
Exemple. — Soit h calculer :
{.V Ml — .r 6 ) d,i
Actuellement/; = — 2, entier négatif. On réduit les fractions
m = T-, /i =— au même dénominateur 12.
r>8 COURS D'ANALYSE
on fait, ensuite, x = u^'^ et on est ramené à l'intégrale
. i2j'«»(i - u'i-'du = nj ^ du,
(jue l'on calculera, d'après la méthode du n** 76, en décompo-
sant Ta" 6ï^ une partie entière du quatrième degré suivie
de fractions simples correspondant aux racines du dénominateur.
Deuxième cas. — supposons maintenant entier. On
ramène ce cas au précédent [p entier), en prenant comme nouvelle variable le binôme a-\- bx^ . Posons donc
a + bx'' = tf
t désignant une nouvelle variable. On en tire
= b « (^ — a) « , clx = — b n (^ — a) « * df.
L'intégrale
l=Cj;*»{a-^bx''Yclx,
devient alors
I = b " (P(^t — ay^
On est ainsi conduit à l'intégrale d'une diflerentielle binôme en t de la forme
r=Jr'(a'-f-^v"frf/,
ou m = Pi n = l,y/ = 1,
QUELQUES MÉTHODES D'INTÉGRATION iSg
Comme est supposé entier, l'exposant p' est entier, et
l'intégrale V rentre dans le premier cas.
Exemple. — Soit
I = r^ w 1 [ x~'t\ * dx.
1 3 /w -h 1 Ici m = -rr , n = — —, = — 1.
On voit que est entier. On prend alors comme nouvelle
variable le binôme
dx = ^{t 1) 3 dt,
et l'intégrale devient
On est donc ramené au premier cas. Pour achever l'intégration, on fait, conformément à la méthode du premier cas,
t = «V, et on a
intégrale d'une fonction rationnelle.
Troisième cas. — Supposons enfin \- p entier. On
ramène ce cas au précédent de la façon suivante. On peut écrire
a -4- /;j:" = x'\ax-''-\- b), [a -f- bx"j' = x-'^^ax- " -j- bf
i6o COURS D'ANALYSE
D'après cela, l'intégrale
peut s'écrire
I = Cx"'' ""^h H- «.r-" Ydx,
intégrale de la forme
où
rn^ = m + np, n^ = — n\
donc
JH^ -\- i m -\- nj)-\- 1 r m -\- i
/« + 1 , . m^ -f- 1 Comme 1- j) est suppose entier, est entier, et
Il ^ * * /?!
l'intégrale Ii rentre dans le deuxième cas. On la ramènera au premier en posant
