I. — EXAMEN DE QUELQUES CAS PARTICULIERS INTERVALLE DE CONVERGENCE

91. Généralités. — Le développement d'une fonction f{jc) en une série de la forme

où«^,rti, ,«„,.-. sont des coeiricients constants, est d'une grande

importance aussi bien dans la théorie que dans les applications. Cette importance tient surtout à ce que, dans les limites dans lesquelles elles sont convergentes, les séries de puissances peuvent être dilFérentiées, intégrées, multipliées les unes par les autres comme des polynômes.

92. Premier exemple. Progression géométrique décroissante. — La théorie des progressions géométriques donne le développement

convergent pour toutes les valeurs de x comprises entre — 1 et -h 1. On a, en elTct, en faisant la division et désignant par y; un entier positif quelconque

(2) ^^ = H-.r+ v' + -ha:':

Si r est moindre que 1 en valeur absolue, .r'' + * tend vers zéro

SKIilES DE PCISSA.XCLS i6J

<jiiancl p augmente indéfiniment, le premier membre tend vers

- et Ton obtient le développement (1).

93. Expression du reste. — Si, dans la série (1), on prend la

somme des p premiers termes, cette somme diffère de -j de

la quantité

/•^, = .1-^' + ' -^^iP^^-\- ,c''

([u'on appelle le reste de la série. Cette quantité mesure l'erreur

(jue l'on commet quand on remplace la fonction -^ par la

somme des p premiers termes de son développement.

D'après l'identité (2), dans laquelle on fait passer le terme