dans le deuxième membre, on a immédiatement

' 1 — aformule qui résulte également de la sommation de la série

écrite sous la forme

Nous allons calculer une limite supérieure de ce reste.

Supposons que .r, au lieu d'être en valeur absolue moindre que 1 , ce qui suffit pour assurer la convergence de la série, soit, en valeur absolue, inférieur ou égal à un nombre positifs moindre que 1, nous écrivons cette hypothèse :

en convenant de désigner par ] .r j la valeur absolue de x. Dans cette hypothèse, comme la valeur absolue d'une somme est au plus égale à la somme des valeurs absolues de ses différents termes, on a, pour la valeur absolue du reste /^

(3) \rA^t>-^ + :'■*'■+...,

i6î COURS D'ANALYSE

OU encore, en remplaçant le deuxième membre par sa valeur,

(4) ■ l'Vl^T

On a ainsi une limite supérieure du reste qui convient pour toutes les çaleurs de x inférieures ou égales à s en valeur absolue.

94. Autres développements en progression géométrique . — Voici quelques développements qui se tirent immédiatement du précédent :

1** Soit a une constante différente de zéro, on a :

comme on le voit en remplaçant dans (1) x par — . Ce nouveau développement (4) est convergent quand la valeur absolue de — est moindre que 1

c'est-à-dire quand x est compris entre — a et -{-a. 2** Si, dans la formule (1), on change x en — .r-, on a :

développement convergent pour x compris entre — i et -|- 1.

95. Représentation graphique. — Considérons la courbe (f.g. 55).

Cette courbe est une hyperbole ayant pour asymptote la droite AB, .r=l.

Si Ton veut représenter graphiquement la fonction définie par le développement (1)

SERIES DK PI I^sA.xCES

ll<' ((Hiilx' iTexlste que pour les valrms dr / (•(nn[)rises entre - i et-h 1, et, dans cet intervalle, elle coïncida ;i\t'c

i — .r Le développement en série ne représente donc que l'arc de

Fig. :-.0.

courbe compris entre AB et la droite A'B' symétrique de AB par rapport à ()//.

De même, la courbe y^ -j— — — ^ »i 1^^ forme indiquée (fig. 56) ;

le développement

convergent seulement quand x est compris entre — 1 et -j- 1, représente l'arc BB' compris entre deux parallèles AB et A'B' à O^, placées symétriquement par rapport à Oij à une distance i de l'origine.

96. Intervalle de convergence d'une série entière.— Théorème. Une série entière converge dans un inlervalle symétrique par rapport à zéro.

Considérons une série

et supposons qu'elle converge pour une valeur particulière a de la variable r, nous allons démontrer qu'elle est convergente pour

toutes les valeurs de x comprises entre — a et -f- «, c'est-à-dire telles que

En effet, la série étant convergente par hypothèse, le terme général

tend vers zéro. La série proposée peut s'écrire :

Supposons que la valeur absolue de — soit moindre que 1,

Comme //„a" tend vers zéro quand n augmente indéfiniment, il est évident que, pour toutes les valeurs de l'entier n dépassant un nombre fixe sutlisamment grand, ti„y." est, en valeur absolue, moindre que 1. Pour toutes ces valeurs de //, le terme général de la série projxisée

est, en valeur absolue, plus petit que —

, c'est-à-dire plus petit

que le terme général de la progression géométrique décroissanle dont le terme général est -^ . La série proposée est donc

convergente.

D'aprrs crUi, on voit que la série converge nécessairement dans un intervaUe symélri(|ue par rapport à 0, car, dès qu'elle converge pour une valeur a de .r, elle converge, dans tout l'intervalle de — a à 4- a. I^e fait que nous avons vérifié pour les

S/'JniES DE PUISSA yr ES 167

développements de -j , , -j — — - est donc général. Si on

veut construire la courbe définie par une équation de la forme

cette coiii])(> n'existe qu'entre deux ordonnées symétriques par rapport a Taxe O//, comme dans les figures (55) et (56).

En imaginant qu'on ait déterminé un nombre a aussi grand que possible en valeur absolue, tel que la série converge pour x = a, nous appellerons intervalle de corn>ergence l'intervalle de — a à -f- a. 11 faut observer, au sujet de cette locution, que la série est supposée converger pour j- = a ; elle converge alors pour toutes les valeurs telles que

mais elle peut diverger pour .r = — a. Par exemple la série

est convergente pour œ—i. Elle est donc convergente pour I .r I < 1. Mais elle est divergente pour ûc = — 1.

97. Remarque. Dans Vinterçalle de convergence de — a à -f- a, In sri'ie obtenue en prenant les valeurs absolues des ternies de la série proposée est convergente. — Cela résulte de la démonstration même, car nous avons vu que, pour ?/ suffisamment grand, la valeur absolue de chaque terme est plus petite

que

, c'est-à-dire plus petite que le terme général d'une

progression géométrique décroissante à termes tous positifs.