Exemples

1° La série

l-h2.r-l-3.r2-f- ...-h,2.r"-* + .•-, est convergente quand x est compris dans l'intervalle — 1^+ 1>

i68 COURS D'ANALYSE

et divergente quand x est, en valeur absolue, supérieur à 1. En effet, le rapport d'un terme au précédent

tend vers x quand n augmente indéfiniment. Dans cette série, l'intervalle de convergence est un intervalle quelconque de — a à -|- * compris dans l'intervalle de — 1 à -j- 1. La série est divergente pour les valeurs ±1, car, pour x =± 1, le terme général augmente indéfiniment.

2^ La série

est de même convergente pour \ x \ < 1 et divergente pour

I j7 I > 1. A l'une des limites x = — 1, elle est convergente :

on peut donc prendre y. = — 1 ; à l'autre x = -j- 1, elle est

divergente. L'intervalle de convergence est donc de — i à -|- 1.

3** La série

est convergente pour | .r | < 1, divergente pour | .i- | > 1 ; elle converge aux deux limites :r = dz 1 ; l'intervalle de convergence est de — 1 à -\- i.

4** La série bien connue

est convergente pour toutes les valeurs de x: on peut dire qu'elle converge dans l'intervalle symétrique — oo Ix -\- oo.

5*^ Le développement de <^/^, où a est une constante positive, se ramène immédiatement au précédent. Pour cela, on pose

/ désignant une nouvelle variable; en prenant les logarithmes népériens des deux membres, on a

t = .rlogrt.