LIMITE DU RESTE. DI FF ÈRE STI ATI O S F.T IS FFGRATIOS
Alors
a' == e' = 1 + ^8-iL + i!il2ÇLl + . . . .
[.e développement converge pour toutes les valeurs de x^
de — ce à -^ oc .
II. - LIMITE DU RESTE. - DIFFÉRENTIATION ET INTÉGRATION DES SÉRIES ENriÉEŒS
99. Enoncé des théorèmes. — Pour obtenir la dérivée ou la l'onction primitive d'une (onction définie par une série entière dans l'intervalle de convergence, il suffit de dériver ou d'intégrer la série terme à terme. C'est là un théorème très important qu'on pourra admettre dans une première lecture. Nous en donnons une démonstration imprimée en plus petits caractères.
100. Limite supérieure du reste de la série dans un intervalle compris dans l'intervalle de convergence. — Soit, comme plu.s haut,
une série qui converge pour x := iz. Nous avons vu qu'elle converge pour toutes les valeurs de x comprises dans l'intervalle — a, -j-a, c'est-à-dire pour
Dans cet intervalle, la série définit une fonction que nous appelons f{x]. Quand on arrête la série au rang y?, on commet sur la valeur de f{x) une erreur appelée le reste R;; de la série.
^P = f[^) — K + «1^ + ••• + «i'^) ou encore
Nous allons évaluer une limite supérieure de ce reste en supposant que x soit assujetti à la condition
COURS D'AyALYSE
g éiani un nombre positif détermine plus petit que i, mais d'ailleurs aussi près de i qu'on le veut. Nous supposerons donc x compris dans un intervalle déterminr. plus petit que l'intervalle de convergence.
I.a série étant supposée convergente pour a; r= a, le terme général «„ a" tend vers zéro quand n devient inlini. Nous écrirons la série comme plus haut
et le reste R,
Puisque «„ a" tend vers zéro quand n augmente indéfiniment, on peut choisir le nombre/? assez grand pour que, n étant supérieur à p, la valeur absolue de ««a" soit moindre que i. Ce choix étant fait, on a
Comme, d'autre part,
et que la valenr absolue d'une somme de termes est au plus égale à la somme de» valeurs absolues de ces termes, on a
ou, tu remplaçant la progression géométrique décroissante du second membre par sa somme
On a ainsi une limite commune du reste pour toutes les valeurs de x telles que
vH'<'-
101. Intégration d'une série de puissances — Soit une série de puissances
Nous allons démontrer que, dans l'intervalle de convergence, l'intégrale de.
LIMITE Dr RESTE. D I FF K R E NT I ATI O y ET I .\T F C RA TI O \ 171
la fonction f .r s'ohiicnl en intégrant la série terme a terme, c'est-à-dire ({ue 1 ou tt
j f[x) dx — a,x + a^^ + «2 "f- + ... + ^'" T^I^Y + •-
l'ii . Ili t, supposons, comme plus haut, que la série f{x) soit conTcrgcnte dans lini. ivallo de — a à -\- a. Donnons à x des valeurs telles que
Nous pouvons écrire alors
f{x) = «0 + a^x + a,x^ -{-.,. -\- a j, xp -\- Rj, ,
Ry, désignant le reste de la série. Nous avons donc, en multipliant par dx r[ iutéu^ranl de o à x,
J/*^ r- x^ xi'^^ (^
I f{^) dx =2 a^x 4- rt, . 4- rt^^ -f . .. + a,, + / R^, dx.
Mais nous avons vu (X^ 100) que l'on a
donc la valeur absolue de l'intégrale 1 R^, dx est moindre que la valeur
Jo
/■^ e /> + 1 ar ô i' -^- 1 absolue de | «/x, c'est-à-dire de , car e est une constante.
Si alors on fait croître p indéfiniment, le terme
JRp dx
tend vers zéro, cavzP^^ tend vers zéro, et Ion a
f{x) dx =a^^x -\- rt, — 1- ... -f an
102. Diffèrentiation d'une série entière. — Nous allons démontrer
de même que, dans lintervallc de convergence, la déri\'ée de la série f {x) s'obtient en prenant les dérivées des divers termes de la série. Considérons, en effet, la série
/; {x) = a^ -\-2a,x -{- ... + /Jrt„ a:'»- » + ... obtenue en dérivant terme à terme la série f{x).
coins D'ANAirSE
Nous allons montrer d'abord que cette nouvelle série converge, comme /■(j-),lj«iur les valeurs de x moindres que a en valeur absolue :
Kn eJfft, comnu" la série f{x) est supposée convergente pour x = a, a„u" tend vers zéro. Donc on peut toujours assigner un nombre fixe tel, que, //étant supérieur à ce nombre, «n «" soil, en valeur absolue, moindre que i. Kn écrivant la série f^ (jr)
on voit que, à partir d'un certain rang les termes de la série entre parenthèses sont, en valeur absolue, moindres que ceux de la série
qui est convergente, car
< I (voirn. 99).
La série de puissances /*, (x) est donc convergente pour toutes les valeurs de X moindres que a en valeur absolue. Son intervalle de convergence est un inler\"aUc de — a' à -|- a', a' étant inférieur à a en valeur absolue, mais aussi près de a que l'on veut.
('eci posé, nous pouvons appli(|uer à la série f^ {x)\e théorème précédent sur l'intégration des séries de puissances et nous aurons, en intégrant terme k terme la série f^ [x),
/*, {x)dx = a^x -f a^L'^ -f ... «„ x" + ...
r'cBl-à-dirc
r,{x)dx = r{x)-a,
Kn difTérentianl cette relation par rappport à j*, nous avons
Donc la dérivée — 7 est donnée par le dévelo
ftx
tppement
-^j-=«, 4. art.or + ... -{- /i<i„x"-« + ...
Di-:\ELOPri:Mi:.\i> de quelques i om iiuys i>Ain icllieiies 173
