Développements de log {1 —jc), log [1 + x), log ^

— Nous avons rappelé au numéro 95 le développement de -.

|);n une progression géométrique

convergente entre — 1 et + 1. Multiplions les deux membres par d.r et intégrons-les de 0 à r. Nous avons, après avoir changé les signes,

log(l.r) = — .r — ^

dévrl()|)|)rment convergent également entre — 1 et + 1. Le développement converge encore pour .r = — 1 ; on peut le démontrer et nous admettrons qu'il continue à représenter la fonction ; on a donc alors :

fin changeant .r en — .r, nous obtenons le développement de

log(l+,r)

log{l + .r) = .r - ^+ -Ç-- + (- l)»-'-f-+ -

Retranchant les deux développements précédents terme à terme et remplaçant la différence des deux logarithmes par le logarithme du quotient, on^a

On ramène aux développements précédents le développement de log (rt -f- '^]y où a est une constante positive difjèrente de 0.

En eiret, si l'on écrit ^/ + ^- = r/ H + -^ j , on a : \o^[a-\-x) = log ^* -4- logfl H- — ). On est alors ramené au développetdelog(l + — ), qui se déduit du développement de

men

je log(l H- x) par le changement de x en — ; et on

V 1 r^ 1 x^ log(« + a-) = loga + - ^ +-^ -5

développement convergent pour

104. Développement de arc tang x. — Nous avons établi plus haut, comme une conséquence de la théorie élémentaire des progressions géométriques, le développement

convergent pour x compris entre — 1 et + 1. Kn multipliant par dx et intégrant de 0 à.r, on a

arc tang x= x r

développement qui converge également entre — 1 et -f- 1. Ce développement converge encore pour la limite ./• = 1 ; comme

arc tang 1 est égal à-r-, on a, comme dans l'exemple précédent,

Celle série converge très lentement et ne convient pas pour le calcul de -.

SÉRIE DE MAC-LAURIN. APPLICATIONS l'S