Différentielle d'une fonction de fonction, — Soit

y = fM> '' = ?(•'•)> r étant la variable indépendante.

On sait que la dérivée de // par rapport à x est donnée par la formule

lyFIMMEXT PETITS. DIFFÉRENTIELLES 19

Multiplions les deux membres par djc, et rappelons-nous que, par définition,

dj/ z= y'^dxy du = u'j, d.r,

nous avons

dy = f'{u)duy

comme si u était la variable indépendante. Ainsi, tandis que, dans la notation des dérivées, on a deux formules différentes pour exprimer la dérivée première de y par rapport à .r, suivant que y est exprimé directement en x ou est une fonction de fonction de x, dans la notation différentielle on a la même formule pour les deux cas.

11. Différentielle d'une fonction composée. — Pour obtenir les différentielles premières de toutes les fonctions d'une variable, il suffit de reprendre les résultats établis en algèbre pour la dérivation des fonctions d'une variable et de les traduire dans la notation différentielle.

Somme. — Soient 11, v, w des fonctions de x; considérons la somme

On a

Multiplions par dx et remplaçons \j'^ dx, u'^, dx, v'^ dx, w'^. dx par leurs valeurs dy^ du, dv, dw, il vient

dy = du -{- dv -\- dw.

Produit. — Considérons le produit

y = uv.

On a

y'x = «^i + vu'^

et, en multipliant par dxj

dy = udv -f- çdu.

.iO COURS D'ANALYSE

Quotient. — Si on a

on trouve

s>u';—uv'.

et, en multipliant par cLv,

dy =

9 du —^ uds>

Fonction composée. — Soit enfin le cas général où y est une fonction donnée de //, f>, «', ces quantités étant fonctions de x.

Kn désignant, suivant l'usage, par f!^, f'^y f[^ les dérivées partielles de la fonction f[ii, s>, w), prises successivement par rapport à ?/, (', (V, on a trouvé en algèbre

on en déduit, en multipliant par dx^

^^y = fL du -\- f^ds> -\- fi, div.

12. Remarque sur les différentielles premières. — On voit, d'après ces règles dont la dernière comprend toutes les précédentes, que, pour prendre la différentielle première d'une fonction d'une variable, il n'est pas nécessaire de savoir quelle (\sf la variable indépendante choisie ; en effet, si l'on a

il suffit de savoir que u, c, (v sont fonctions d'une variable indépendante, d'ailleurs non spécifiée, pour écrire la différentielle

dy=fidu^fjs>-^fi,dsv.

Celte propriété ne s étend pas aux différentielles d'ordre supérieur dont l'expression peut changer avec le choix de la variable indépendante.