Série de Mac-Laurin. ^Nous venons de développer

certaines fonctions particulières en séries de puissances entières et positives de la variable. Nous allons indiquer une formule générale permettant de former le développement en série de puissances d'une fonction quelconque donnée f{-i'), pourvu que ce développement soit possible.

Soit donc /*(.r) une fonction donnée : supposons cette fonction développée en une série de la forme

Comme nous l'avons vu, cette série converge dans un intervalle de — a à + a. Dans cet intervalle, la fonction f{x) est continue et a une dérivée

(2) f'{x) = a^-^2a^x-^?> a,x' + . . . + na„x—' + . . . ,

définie par une nouvelle série de puissances, convergente dans le même intervalle. Cette dérivée première possède alors une dérivée

(3) f" [x] = 2a, -f- 2.3«3.r + ... + (,i i)na^x--'-^ ... Cette nouvelle série a, de même, une dérivée

et ainsi de suite, jusqu'à la dérivée d'ordre n.

D'après cela, une première condition pour qu'une fonction donnée f[x) puisse être développée en une série de puissances dans un intervalle — a-j-a, est que, dans cet intervalle, elle admette des dérivées de tous les ordres restant toutes finies. Cette condition étant remplie, si le développement est possible,

i;f, COURS D'ANALYSE

on obtitîiulra les coeiricients «^, «i, — , a,^ .... en faisant .r = 0 dans les formules précédentes (1) h (5). On a ainsi

' OTJ'"" "~1.2.../i ■■

Porliint ers viileurs dans le développement de f{x), on a

106. Légitimité du développement. — Telle est la formule de Mac-Laurin. Klle donne le développement de/'(.r) quand il est possible. Mais dans quelles conditions ce développement est-il possible ?

Pour cela, il faut et suffit :

1" Que la série du second membre de la formule ait tous ses coefficients finis :

2" Qu'elle soit convergente dans ([uelcjue intervalle symétrique par rapport à l'origine);

3" Que la somme de cette série soit égale à f[x).

Les deux premières conditions sont aisées à vérifier. La troisième est beaucoup plus difficile à vérifier; on y arrive par divers procédés dont on trouvera plus loin des exemples à propos des développements de sin.r, cosj:, (1 -\- x)"\ On v arrive également, dans certains cas, en évaluant l'erreur commise quand on substitue il la fonction les n premiers termes de la série (0). Dans les applications, on admet fréquemment que, quand la série est convergente, elle représente la fonction ; mais il existe des exemples du fait contraire.

107. Développements de sin .r et cos .r. — Soit d'abord /' (.r) = sin .r ; on a. successivement,

f W = <?«» •''. r W == — si" .»\ / " (r) = — cos r, /•*(.r) = sin j-, etc..