SERIE DE MAC-LAURIN. APPLICATIOSS

Fiiîsant r = 0, on voit que la fonction et toutes les dérivées (Toi (lie pair s'annulent; les dérivées d'ordre impair sont alternativement égales à -|- 1 et à — 1.

On trouve ainsi le développement

sin .1' = :i' T-TT^ — }-

Ce développement est convergent pour toutes les valeurs de a: de — X à + X.

Mais ce fait ne suffit pas pour qu'on puisse affirmer, en toute rigueur, que la somme de la série est bien égale à sin r. C'est ce <[ue nous vérifierons plus loin.

Pour avoir le développement de cos .r, il suffit de prendre la «Iciivcc (lu d«'veloppement précédent. On a ainsi

cos :v = 1 —

108. Formule d'Euler. — On peut rattacher ces deux développements à celui de e^ de la façon suivante. Soit i l'unité (•om[)lexe telle que

ot, par suite,

P = — /, i' = iy...

on a, par définition,

En remplaçant les puissances successives de î par leurs valeurs, on voit que les ternies de rang impair sont

cl foi nit'iit le développement de cos jc, puis que les termes de rang pair sont

et forment le développement de i sin u-

APPELL. Analyse.

e"^ = cos .r -f- i sin .r.

('hangeanl x on — .r, on a de même

Si, enfin, Ton ajoute et retranche ces formules membre h membre

on a

cos.r = -^[e -h- e

sin .r = -77^ (e'-^ — e~ '^)

Ces relati(»ns nous ont servi sous une autre forme (N°80).

109. Vérification. —Voici comment on peut vérifier que les deux développements ci-dessus représentent bien sin .r et cos x. Posons

et proposons-nous de déterminer les fonctions u et c de la variable X. On voit immédiatement, en différentiant, que Ton a

du (h

dx ' dx

On en conclut, en multipliant la première équation par // et la deuxième par i» cl ajoutant,

du dv

dx dx

Le premier membre de celte relation étant la dérivée de —(//* -f-<''), on en conclut, par riniégralion, que w' -)- 9^ est constant