SERIE DE MAC-LA CRIN. APPLICATIOSS

C dési<rnant inio constante. Pour déterminer cette constante, faisons a: = 0; alors n se réduit à 0, (^ h 1, donc C = 1 et on a

On tire de là

, , , . (l u et, en portant dans la relation —j— = i>, ^ de

=.±^\. — u\ zhd.i =

dx ^ ' ^i — H^

Dans cette dernière relation, le premier membre est la différentielle de zhxy le deuxième de arc sin//; on a donc, en prenant le signe +

JT -j- a = arc sin ii, u = sin (.r + a),

a désignant une constante arbitraire ; en prenant le signe — , on a de même

— X -\- [j = arc sin u, u = sin ( — x -{- ,3)

^ désignant une constante arbitraire. Ces deux expressions rentrent Tune dans l'autre, car, en posant

? = - a + 7:, la deuxième devient

n = sin (7: — X — a) =: sin (:r -j- a).

Ensuite la formule ^ = — ^ — donne

ax

^> = cos (.r-f- ^)'

Pour déterminera, remarquons encore que // et v se réduisent, respectivement, à 0 et 1 pour j: = 0. Nous aurons, en faisant

0 = sin a, 1 = cos a.

,8o COVRS D'ANALYSE

Donc

a = 2 Au,

où k est un entier positif, négatif ou nul, et Ton a enfin

n = sin (x -f- 2 Air), r = cos (.r + 2 Ait)

c'est-à-dire,

a = sin:t*, (> == cos^.

110. Développement de (l + j^)"*. — Soit m un nombre quelconque, positif ou négatif, entier ou fractionnaire. Appliquons la formule de Mac-Laurin au développement de

On'a immédiatement

f"{j:) = m [m — 1)(1 -I- .r)»'-», pf){x) = m {m — 1).... [m y> -f- 1) (1-+- .r)»-^

En faisant j: = 0, on en déduit

/•(O) = 1, f (0) =//i, /" (0) = m {m ~ 1), /fi') (0) = m (m — 1)... {m — p -h 1).

La formule de Mac-Laurin donne alors

On a ainsi la formule du binôme étendue ù un exposant quelconque.

Pour voir dans quelles limites cette série est convergente, prenons le rapport du terme en r '' * ' au terme précédent en .r'', nous avons pour ce rapport

SÉRIE DE MÀC-LAURiy. APPLICATIONS i8i

Qiiaïul /> augmente incléfinimei^t, ce rapport tend vers — x. Donc quand .r est moindre que 1 en valeur absolue, la série est divergente; quand x est supérieur h 1 en valeur absolue elle est convergente. Nous allons vérifier que, dans l'intervalle de — 1 à -h 1> la somme de la série est égale à (1 -f-:r)'".

Vérification. — Posons

En prenant la dérivée, on a

puis, en multipliant ce développement par .r,

dii r m— 1 (m — i)im—2) , "1

x-jL-^m \x H j— .r^4- ^ f-y^ ^.r^f-... I .

Ajoutons ces deux équations membre h membre, en ordonnant le deuxième membre par rapport à x^ il vient

,. N du r. m mim — 1) , 1

où la série du deuxième membre est y.

On a donc

d'où

X dy

dif dx

Le premier terme est la difTérentielle de logy, le deuxième de m log(l-|-.r); les difTérentielles de ces deux fonctions de x étant égales, ces fonctions diffèrent par une constante et on a

log y = m log(l + a-) H- C.

,8a COURS D'ANALYSE

Pour déterminer C, faisons ^ = 0; alors, d'après la série qui déHnit y y on i\ y = i. Comme log 1 = 0, on a

Donc enfin

log y =/;îlog(l -h x).

Développement de [a -\- jcY'y a étant une constante différente de zéro, — On peut écrire

(rt-4-.r)

1 -|- — j ; ce dernier développement se déduit immédiatement de celui de (1-|-J7)'"en y changeant jr en — ;

développement convergent pour x compris entre — a et -|- a.