Application à —== . Développement de arcsinx. V 1 — x

On a

D'après la formule générale précédente où on change x en — or*, on a

(1 — .r«) = 1 -u* H ^-^ Lj:^

raisons m = ^r- , alors

V /; /.• / /; /; /; i/ . u '- /, . ( r ni.\. a rrrrci rro y s i S'î

o[ on tioiive

Multiplions les deux membres par dx et intégrons de 0 à .i \ il vient

arc sin .i- = .r

Ces développements sont convergents pour r compris «Mitre — 1 et -|- 1 et Tare étant compris entre — -7^ et-| — :^-

ii2. Méthode des coefficients indéterminés. — Dans les applications, on emploie souvent la méthode des coefficients indéterminés pour calculer les premiers termes du développement d'une loïKlioii fil >.iic de puissances.

Prenons par exemple la fonction

sin .r

tanff.r = >

*^ cos .r

qui est finie, ainsi que toutes ses dérivées, pour \v = 0. Posons

sin.^•

cos .r " * *

Le premier membre changeant de signe avec .r, il doit en être de même du deuxième. La série ne doit donc contenir que des puissances impaires de x. Les coefficients a^^ «,, «^,... sont nuls, et on peut, dans la série, mettre .r en facteur. On a ainsi, en chassant le dénominateur,

sin.x- = .^cos.r [a^ -\- a.^c^ -f- a^x^ -\- ...), et, en remplaçant sin x et cos x par leurs développements,

■■■(■- 4+ TÏr--)-

En Taisant le produit des deux séries du deuxième membre et ordonnant suivant les puissances croissantes de r, on doit trouver une série identique au premier membre : on a donc

rt, = 1, 2 — r^a— (j"' "24 2 "^'^s— 120 *••'

d*où

On a donc

tan g X =:r — —r. \