Série de Taylor. Formule. — La lormule de Mac-Laurin

permet d'étudier une fonction f[j-) dans le voisinage de la valeur

j-=0; nous avons vu, en ertct, que la série de Mac-Laurin con-

crge dans un intervalle symétrique par rapport à 0.

l*our étudier la fonction f\.r) dans le voisinage d'une autre

valeur [a ><0), on fait un changement de variable en posant

alors .r étant voisin de «, x' est voisin de zéro ; et on est ranien> it étudier la fonction de .r'

dans le voisinage de ^ = 0. Pour cela, on développe f[a-\-a/) suivant les puissances positives croissantes de x'. La formule qui donne ce développcinent est la formule de Taylor. Si, pour un instant, on pose

il s'agit de développer 'i .r' en série de puissances entières et positives de r'. (l'est ce «ju'on fait en appliquant il ^{x') le développement de Mac-Laurin ;

SÉRIE DE TAYLOR i8S

Or l'identité

et les identités qu'on en déduit en prenant les dérivées successives dos deux membres par rapport à x' , donnent évidemment, poui- .r=0,

s" (0) =/"(«), etc..

On a donc le développement

(T) fa + .,■') =f[„) + ^f' («) + Jj /•"(«) +

(jui est le développement de Taylor. Pour que ce développement soit applicable, il faut et il suffit que cp (r') soit développable par la lormule de Mac-Laurin.

Le développement (T) converge pour les valeurs de :v' comprises dans un certain intervalle symétrique par rapport à j:' = 0, c'est-à-dire pour

C^oninu' on a posé

ce développement représente donc la fonction f [jc) pour les valeurs de X comprises entre a — a et a-\- a.

En remplaçant, dans le développement (T), a par x et x' par /<, on écrit la même formule

114. Interprétation géométrique. — Considérons la courbe ayant pour équation

Si on développe /'(.r) par la série de Mac-Laiiriii, on obtient un développement qui représente un arc BB, de la courbe comprise entre deux ordonnées symétriques par rapport à Oy (fig. 57).

Fig, 5;.

Pour étudier la courbe dans le voisinage d'un autre point A, d'abscisse a, on considère l'ordonnée AO' du point A et on transporte les axes parallèlement à eux-mêmes en O' de façon à les amener en 0'.r et O'y' . La nouvelle abscisse x' d'un point de la courbe est liée à l'ancienne .r par la formule

x=a -\- jc" .

l/équation de la courbe devient

et, pour étudier la courbe au voisinage du point A, on développe f[a -f- x') suivant les puissances de .r'. La série de Taylor ainsi obtenue représente un nouvel arc CC, de la courbe compris entre deux ordonnées symétriques par rapport à O'y'. Soit, par exemple,

équation d'une hyperbole ayant pour asymptotes .r=lety = 0. Si on forme le développement de Mac-Laurin,

y = l-har-h.i:^+.

il est convergent pour

CM. (II. ni-: ( ertaim:^ i \ i i:<: ha i.r.s

il représente l'are B oo compris entre Tasyniptote .^• svmélrîqiie de l'asymptote par rapport à Oy (fig. 58).

,87 1 et la

ir

Fig. 58.

Pour étudier la courbe au voisinage du point A d'abscisse 00' = 2, on lait

alors

cette nouvelle série, étant convergente pour

représente l'arc d'hyperbole — x C compris entre l'asymptote verticale ^' = — 1 et la symétrique de cette droite par rapport h la droite Oy.

VI. - APPLICATION DES DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES DE PUISSANCES AU CALCUL DE CERTAINES INTÉGRALES

Nous donnerons, à la fin de l'ouvrage, des méthodes d'approximation et des procédés mécaniques pour évaluer les intégrales. Nous indiquerons ici comment, dans certains cas, on peut calculer, approximativement, une intégrale en la développant en série.