CALCUL DE CERTAINES INTÉGRALES
On peut exprimer les coordonnées d'un point M de la courbe en fonction d'un paramètre it en posant
r = a cos it, t/= bs'in n.
Pour // = 0, on a le sommet A; et, pour //=-—-, le sommet B. Calculons l'arc AM = s. On a
ds = \/d.v--^(hf = si a' sm' H -ir h' cos' H du.
Remplaçons sin^ 11 par 1 — cos ^//, a- — b^ par c* et désignons par c Ve.rccntricité de l'ellipse
a Nous pourrons écrire
ds = a Vi — e^cos" u du , s = a \ V^ 1 — é' COS" u du.
L'intégrale ainsi obtenue ne peut pas être calculée sous forme finie à l'aide des fonctions élémentaires algébriques, exponentielles et logarithmiques^ circulaires directes ou inverses. C'est un cas particulier des intégrales elliptiques. On la calculera par les méthodes d'approximation que nous donnerons plus tard; on pourrait aussi la calculer en la développant en série procédant suivant les puissances de e-.
Faisons le calcul pour le quadrant d'ellipse AB ; il faudra
intégrer de Oh -y . On a donc, en appelant / le périmètre de Tellipse.
—-== a j Vi — e' cos^u du .
Comme e^ cos^ u est moindre que 1 , on peut développer
Vl — e^cos'u par la formule du binôme
(1 — e^ cos* u)^ =i — Tj-f^^ cos-^ u
igo COURS D'ASALYSE
Kn multipliant par a du et intégrant terme à terme de 0 à-^, on
aura une série donnant -j- 1. Pour avoir le terme général de cette
série, il faut calculer l'intégrale
Kcrivons-la
/ cos*"~'//r/ (sin //),
et intégrons par parties; nous aurons
W (/i) = (cos* "-* //. sin u) ^ -- (r--- "-'
(2/1 — 1) r ' cos*"-'/^ sin^ // du.
La partie intégrée s'annule aux limites; l'intégrale du second membre peut s'écrire
r * cos' ""' // (1 — cos^ //) du
c'est-îi-dire
Donc on a
En donnant l\n successivement les valeurs 1, 2, ..., w, on a ainsi les relations
V(l)=iv(0),
CALCl'L DE CEHTAiy I s l .\ i l- (, i: a 1. 1. s 191
d'où, «Il imiltij)liant membre à membre,
traillciirs
Le coeflTicient de e'" clans la série donnant -,- est donc
ou. (riiprrs la valoiii- de ^r(/î),
On a donc enfin pour -y la série
Calculons le rayon R d'une circonférence de même longueur que Tellipse.
il vient, en remplaçant / par sa valeur, et calculant les coefficients numériques
On peut obtenir des valeurs approchées de R en fonction desdeux axes a et b de la façon suivante.
iga
COURS D'ASALYSE
Une première valeur de R, approchée par défaut, est -^(rtH-^).
En effet,
développant par la formule du binôme, on a
On en conclut la valeur suivante de — ^ — que nous écrivons
en réduisant les coefficients numériques aux mêmes dénominateurs que dans le développement de R :
On voit que — ^ — est une valeur approchée de R par défaut,
et que la différence R ^ — est de l'ordre de e\
Une deuxième valeur de R, approchée également par défaut,
mais un peu moins, est v/ri/>. Kn effet h étant égal h a^i — e', on a
V/^l = a (1 — >)^= a \\ — ^e'— -^ c*— 4^e« ^ ' L 4 (>4 25b
Kn combinant ces deux formules donnant -. — et \ ah, on
4>btient, d'après M. Boussinesq, une valeur de R approchée par excès. On a en eflel
16:384 < xpression qui ne diffère de R que par le terme en e*.
CALCUL DE CERTAINES I .\ T i:(; RALES 19^
On tJ*ou\'cra des renseignements détaillés sur cette question de la rectificalioiî do l'ellipse dans un article intitulé Essai teclinique sur la rec/i //(■(/ //on rie l'ellipse j par M. Williot [Annales des Ponts etChanssrrs. jniUrl 1S96).
117. Intégrale elliptique H(^). — Nous avons trouvé dans le juiinéio pKncvlent ([ue l'arc d'ellipse AM est donne par
s=a 1 vi — e^ cos- u du .
Donc l'arc BM, compté à partir du sommet du petit axe, est
arc BM =a \ V i — e' cos" u du.
Fn faisant u = -^y — cp, dit = — d-^^ et remarquant que les limites de ^ sont cp et 0, on a, après avoir interverti les limites,
arc BM = a j v 1 — e- sin'" 'j do.
On pose, habituellement,
E('f , k) = CWi — kWin'o d'^,
A étant un nombre positif plus petit que 1. Avec cette notation
arc BM =flE(^, e).
L'intégrale E('^, k) est une intégrale elliptique qui a été étudiée par Legendre et appelée par lui intégrale elliptique de seconde espèce. Sa valeur dépend des deux nombres ^ et k. Comme k est moindre que i, on peut poser
A==sine.
On appelle cp l'amplitude. A* le module, H l'angle du module. On trouvera (hins les tables de Ilouël (p. 58) les valeurs de APPELL. Analyse. i3
E(tp, X) cl de logE('f , k) pour les valeurs successives des angles cp et 0 exprimées en parties du quadrant, de dixième en dixième de quadrant.
Ces tables pourront donc servir h la rectification de l'ellipse.
118. Autre exemple d* intégrale elliptique. Pendule simple. Intégrale elliptique de première espèce. — Imaginons un pendule simple de longueur 0M = / oscillant dans le vide entre les
deux positions extrêmes OA et OB, symétri(|ucs par rapport à la verticale OM^, et Taisant avec la verticale l'angle a. Soit A l'angle rOM que fait le pendule avec la verticale ii l'instant /. On démontre, en mécanique rationnelle, que l'on a
;- = ±:v2;cos y. —
a (Il ^
cos a .
nous aurons
Remplaçons cos X et cos a par 1 — 2 sin- -^j- et 1 — 2sin-~
\/ sur Ty sin*-;y-
où nous prenons le signe -f- en supposant que le pendule monte. Kn intégrant et c<»mptant le temps Ix partir de l'instant où le mobile est en .M„, on a
I y/sin'A^sin.^
CALCUL DE CE HT AI si: s I \ I r.GRALES igS
C'est encore là uih' ind i^iale ellij)li(|iit'. Illle se ramt'iir lacileinciil il la Idiiiif <|iie Legeiidre a iioiuiikm' inlri^rnlc de [/icmière cspcLC. Faisons iiii chanprenient de vaiiable en posant
sin-^
■ — ^ = sin=,
cp désignant une nouvelle variable qui part de zéro avec A et qui devient égale à~ pour ). = a. En posant, pour abréger,
sin — = A*, on a
sin-7T- = A- sin cp, -— - = arc sin(Asin »),
A Acoscp^/'v / ^ \
^^•^—777 /./ • '. -> V sin-—- — sin^-:^ = /:cos'^.
-^ Vl — A- sur 'j y 1 1
V / Jo \/l/,^ singes
C'est là l'intégrale elliptique de première espèce, désigné( par Legendrc par la notation
La quantité k est le module, '^ l'amplitude. On trouve dans les tables de IIouôl (p. 58) les valeurs de cette intégrale : dans ces tables on a posé
A* = sin 9,
et on a calculé les valeurs de F(:p, A) et de son logarithme pour les valeurs des deux angles cp et 8 de dixième en dixième de quadrant. Dans le mouvement du pendule simple, H est égal à la
moitié de l'angle d'écart maximum, 0= — - .
119. Durée d'une oscillation du pendule. Développement en série suivant les puissances du sinus du demi-angle d'écart maximum. — Nous avt)ns trouvé plus haut l'expression du temps / que met le pendule à s'écarter de la verticale d'un angle X. Pour avoir la durée T d'une oscillation simple, il suffit
de doubler le temps que met / à acquérir la valeur ~ .
On a donc
Cette intégrale F (-y>^*) est ce que Legendre appelle inte-
i^rale complète de première espèce. On la désigne ordinairement par K.
Jo VI — A-sin-^'^
On a, avec celte notation,
T = 2 Kv/-^.
Pour calculer K, nous allons le développer en une série procédant suivant les puissances de A ==sin-;r- , comme nous avons
fait pour développer la longueur d'une ellipse en série procédant suivant les puissances de rexcentricité.
Ecrivons
K= p(l — A'^sin^'f)"Trf^,
et développons, par la l'ormulc du binôme, la quantité sous le signe d'intégration
é^ lAXi In
Nous aurons ii calculer les intégrales
V(/i)=jp"sin«"^f/^.
APPLICATIOy AlA FORMES INDÉTERMINÉES 197
Or. on laisanl -^ = -^^ //, r/'^ = — du, r\ o\\ remarquant que, '^
variant de 0 à-^ , ti varie de -^ îi 0, on a, après \\\u\v changé le signe et interverti les limites,
W 'n^= I * cos""// (lu.
Jo
Cette intégrale est celle que nous avons calculée au n° 1 16.
^ ' 1 l.-iA) In
Donc enfui
Vil. — APPLICATION DES DÉVELOPPEûIENTS EN SÉRIES DE PUISSANCES A L'ÉTUDE DES FORMES INDÉTERMINÉES
120. Formes indéterminées. — Les principaux types de formes indéterminées sont
-J, f-, OXx, 0% X», r, x-x.
Forme — p . — Soient f{x) et cp (x) deux fonctions de x qui s'annulent toutes deux pour x = fl. Le rapport
n*a aucun sens pour x=a; mais il peut arriver que ce rapport tende vers une limite quand x tend vers a ; on dit alors que cette limite est la valeur du rapport pour x=a.
1^8 coins D'ANALYSE
On démontre, dans les éléments de Talgèbre, que si le rapport des dérivées
aune limite pour x = rt, le rapport
a également une limite et que ces limites sont les mêmes. Dans un grand nombre de cas, on peut employer les développements en série de la façon suivante. Si Ton pose
le problème est de voir si le rapport
tend vers une limite quand .r' tend vers zéro et de trouver cette limite si elle existe. Si les deux fonctions sont développablcs par la formule de Taylor, on les développera suivant les puissances de x'; on pourra supprimer une certaine puissance de .r', comme facteur commun au numérateur et au dénominateur, et on verra immédiatement s'il existe une limite. Par exemple, prenons le rapport
r — sin .;•
log(l-4-J-)— ^4--^
pour ^' = 0. Ce rapport prend la forme — . Développons les deux termes suivant les puissances de r. On a
sin .r
log (1 -h .r=.r — -^ 4- -TT — -T- -+-.
APPLICATIOTs Al \ lOllMES I .\ D 1! I E lOI I S É K S 199
Le r;n)|)()i'l cofisitléré est donc
Divisant haut et bas par .r' et faisant tendre x vers zéro, on troiivr (Mnnme limite -^ .
Comme deuxième exemple, prenons
pour .r :^=0. C^e rapport prend alors la forme -— , car, v tendant
vers zéro, (1 -|-.r)~ tend vers e. On peut encore développer le
numérateur suivant les puissances croissantes de x. Il suffit de
i;n([uer (juc l'on a identiquement
icm;
^ — log^l+x)
car les deux membres ont même logarithme népérien. Remplaçant log(l H- i) par son développement en série, on a
en posant
Si, dans la série
