APPLICATION AUX FORMES INDETERMINEES

Soit n un entier supérieur \\ p. Divisons le numérateur et le dénominateur par .z'% il vient

1 JH 1 /7Z" /«"^^

Quand ,r augmente indéfiniment, le numérateur tend vers zéro;, le dénominateur augmente indéfiniment, car, après les n premiers termes du dénominateur qui tendent vers zéro, viennent des termes tous positifs qui augmentent indéfiniment.

Le rapport tend donc vers zéro.

Forme OXx . — Cette forme se ramène à l'une des précédentes. Soit, en effet, un produit

dans lequel f(x) devient nul pour x = a et o[x) infini. En écrivant ce produit

'fW

on voit qu'il prend la forme -r- , et en l'écrivant

on voit qu'il prend la forme ^.

Considérons par exemple le produit

;r"'logx,

où m est positif. Quand x tend vers zéro, ce produit prend la forme OX!ûc .

La fonction log x ne peut pas être développée par la formule de Mac-Laurin. Nous ferons un changement de variable en posant

Pour faire tendre .r vers zéro, il faudra faire croître t indéfiniment par valeurs positives. On a alors

Pour t infini, ce dernier rapport tend vers zéro, d'après l'exemple précédent; le produit .r'"log.r tend donc vers zéro avec X.

Formes 0®, ao^, 1*. — Ces formes se ramènent aux précédentes en prenant les logarithmes des fonctions qui se présentent sous l'une de ces formes.

Ainsi, prenons la fonction

OÙ, pour X = a,

L'expression

log?/=:cp(.r)log/*(.r),

prend, pour x=a, la forme Ox co.

Soit, par exemple, l'expression

où X tend vers zéro. On a

\ogy = x Ipg^.

Quand x tend vers zéro, le produit x log x tend vers zéro, comme nous venons de le voir ; donc log ?/ tend vers zéro, et i/ tend vers 1.

Forme x — x. — Soit une différence

dans laquelle f[x) et cp (,r) deviennent infinis pour x = a. On écrira cette différence

APPLICATION AUX FORMES IN DÉT E RMIN É ES 2o3

Quand i* tend vers a, le rapport

prend la forme ^ . Si ce rapport tend vers une limite l différente

de 1, le facteur i ' . " [ tend vers la limite 1 — l différente de

zéro, et comme f{,r) devient infini, la quantité considérée augmente au delà de toute limite.

Si le rapport ' ., [ tend vers 1, le facteur 1 — ^. ' ; tend vers

zéro ; le facteur f[oc) devient infini, et la quantité considérée prend la forme

XXO.

Prenons, par exemple, la différence

0 == '^x' + x' + 1 — V^.rM^

pour .^=-(-00 . Cette différence se présente alors sous la forme X — X. On constate immédiatement que le rapport des deux radicaux tend vers 1. La différence peut donc avoir une limite. Pour la trouver, écrivons

car, X étant positif,

et, dans tous les cas, On a donc

ou

ao4 COURS D'ANALYSE

Quand .r est très grand, // et s> sont moindres que 1 et on peut développer (l-f-«) ^ et (l-f- f') * par la formule du binôme

Remplaçant // et (' par leurs valeurs et ordonnant les deux séries par rapport aux puissances de — , on a

La différence o devient alors

et, pour j==-|-x

On peut remarquer que, pour .r = — x la différence o n'est pas indéterminée; elle est infiniment grande et négative.