I. — SÉRIES TRIGONOMËTRIQUES
121. JPropriètès générales. — Soit une fonction F(/) connue dans un intervalle [a, h)
(3n peut toujours, pour simplifier, ramener cet intervalle à <Ure — - et H- 7z en faisant le changement de variable
AWw ou tire
On voit, en effet, que pour f = a, .r = — t: et pour t = hy Nous poserons
La fonction /' (r) est alors connue dans l'intervalle de — - à Si cette fonction f[x) est finie et continue dans Vinters^alle de
ao6 COURS D' ANALYSE
- // -f- T., on peut toujours, pour toutes les valeurs de x comprises dans cet intenta lie
la développer en une série convergente de la forme
(1) f{jc) = «0+ ^/, cos..r 4- A, sin .r + a^ cos 2 x + /», sin 2 .r -j- -|-fl„cos nx-\-hn sin /ij -{-...;.,
/es coefficients a ^, «„ ...., «„,/>„ ..., /'„,... c'/<'/«/ <:/es conaianfrs con ven a hlem en t ch oisies .
Ce développement n'est plus valable pour les valeurs limites — ^et-f-'î^ ^^ •^- Pour ces deux valeurs limites la série prend la même valeur.
On démontre que la somme de cette dernière série n'est égale ni à f( — -) ni à f{-\-'^)y ni»is à la moyenne arithmétique
On démontre également que la série obtenue en intégrant terme à terme une série telle que (1) est convergente et que la nouvelle série a pour somme une fonction primitive de f[x) dans le même intervalle de — 7c à + t:.
Mais on ne peut pas affirmer que la série obtenue en différentiant terme à terme une série telle que (1) soit convergente. Nous ne démontrerons pas toutes ces propositions, nous nous contenterons de quelques indications.
122. Détermination des coefficients. — La détermination des coefficients du développement (1) repose sur les faits suivants :
1* Si m cl /i sont deux entiers positifs différents, on a
/ cosmx cos t:x dx ==0, / sin mx siu njc dx = 0.
si: RI ES TitiGoyoMÉrniquES io-
En l'fîVl, on a icleiit'miKMiitMît
(•(»s ni.v i
os n.v=z— [cos [m — n) j'-f-cos [m -\-n) x]
sin mx sin /?.r = -^- [cos [m — n) x — cos [m -\- n) x] ;
Les intégrales indéfinies sont donc
1 r sin [m — //) X , sin [m -\- n) x^
elles s'annulent évidemment aux deux limites.
2" Quels que soient les entiers positifs m et /i, qu'ils soient diflerents ou non, on a
/ sin mx cos nx dx = 0.
En efï'et, on a
sinm.rcos nx= — [sin [m -\-n)x -f- sin ni — n)x'].
Si m — n n*est pas nul, l'intégrale indéfinie est
1 r cos[m-\-n)x cos {m — n)x "1
2 L ffi-\- n ifi — 'i J '
l'intégrale indéfinie prend les mêmes valeurs pour x=^ — - et X =7:; l'intégrale définie est nulle.
Si m = n, on a
sin mx cos mx = -^ sin 2 /«.r,
et l'intégrale entre les limites — t: et +7: est encore nulle. 3** On a, n désignant un entier non nul,
/•-Hï: /»-4-r
j cos^nxdx =T,y j s'in-nx dx=7z.
En effet,
, 1 -h cos 2nx . , 1 — cos 2 nx cos^nx = r; , sm nx = r; .
ao8 COURS D'ANALYSE
Les deux intégrales indéfinies sont donc .r , sin2/?.r
Le sinus s'annule aux limites ; chacune des intégrales définies 4»st donc
Si /i = 0, la première intégrale devient
et la deuxième devient nulle.
Ceci posé, prenons le développement supposé
l) ^(.r) =zaQ-\- a^ cos j: -{- h^ sin .r -}- <7j cos 2 :v -\- b^ sin 2 x -j- H- <^'„ cos n.v -f- A„ sin /?.r -{-
Pour déterminer r/„, n > 0, multiplions les deux membres par cos/i.rt/.r et intégrons de — 7:îi-|-7:. Nous avons, dans le premier membre,
I / (j-j cos //./• (h:
Dans le deuxième membre, nous avons une somme d'intégrales qui sont lotîtes nulles^ d'après les remarques précédentes, excepté celle qui multiplie a^. On a donc
cosnxdjc = an j cos^ nxdx.
Le coefficient de ^„ étant i: :
1 /"*',• n„= --- I f[x) cos fiA- (l.r.
De mt^me, pour avoir /»„, on multiplie par s'mnxdx et on intègre de — 7:ii -4-r. T(»utes les intégrales du deuxième membre .sont nulles sauf celle <pii contient /»„ et on a
I f{x) sin/i.r(/x = A„ / sin^//.rr/.r.
SÉRIES TRIGOyO. M ÉTRIQUÉS 209
D'où, comme le coefficient de /»„est7:,
sin nxdjc.
Nous avons ainsi tous les coefficients a^, rt,, ...,^,, Z»,, — 11 reste à calculer «'„. Pour cela, on multiplie par dx les deux Hiciul^res du développement et on intègre de — 7:à-|-7:. Toutes les intégrales du second membre sont nulles, sauf celle qui contient «0, et on a
On voit que <7o est la valeur moyenne de la fonction /*(.r) dans l'intervalle de — 7:à-)-7:;rt,i et ^„ sont les doubles des valeurs moyennes de f(x)cosnx et f[x)s\nnx dans le même intervalle.
On peut dire que le développement en série trigonométrique d'une fonction /"(.r) dans un intervalle — Tzà + '^est connu, quand on connaît la ç>aleiir moyenne de la fonction f [x] et des produits f[x) co^nx, f[x) sin nx dans cet intervalle.
Nous admettrons que le développement ainsi obtenu représente bien f[x)i entre les limites — 7: et -|- tt, et est égal à
|-[rN+/"(-'^)l. .
aux deux limites 7: et — ?:. La démonstration de ces propositions nous entraînerait en dehors du cadre que nous nous sommes tracé.
123. Application. — Soit à développer la fonction entre les limites — 7: etH- -.
APPELL. Analyse.
a 10 COURS D'ANALYSE
Résumons les valeurs des coefficients rt^» ^n> ^>n trouvées plus haut
Actuellement
(i„ = — / /*(.r) cos nxdr, j
il « = 1,2,.
h„= — j f[x)s\ïinxdx, ]
car l'intégrale indéfinie -^ prend les mêmes valeurs aux deux limites. Eln général, on aura
1 r-f En effet, la fonction sous le signe |
^ cos/îj-^.r = 0.
-iy cos /e.r
est impaire] elle change de signe avec j*. Dans l'intégrale définie
de — t: à -I-t:, la différentielle -^ cos /2.r</vr, prend donc des
valeurs deux à deux égales et de signes contraires, et la somme de ces valeurs est nulle. *
Calculons maintenant
f^n = -^- I -Tj- sin nx dxy [n = i, 2 , x ) .
Nous intégrerons par parties en faisant
X cos nx
l'intégrale peut alors s'écrire
I udt» = tuf — / vdtt
SÉRIES ritlGOyOMETRiqUES
c'est-à-dire
cos nx
-75 — / cosnxdx.
In J-,
La dernière intégrale est nulle. La partie intégrée donne
car
cos/?7: = cos( — /it:) = ( — 1)".
Telle est l'intégrale qui figure dans ^„. Pour avoir Z>,i, il faut la
diviser par ?:; donc
