Tableau de différentielles usuelles. — N

ous reunissons

INFINIMENT PETITS. DIFFERENTIELLES 21

dans le tableau suivant les expressions des différentielles usuelles :

dx''' = mx '"-* dx,

(m constante positive ou négative)

d log X = dx^

(le signe log désignant un logarithme népérien).

de^ = e^ dx, da^ = a^ log a dx. d sin X = cos x dx, d cos x = — sin x dx,.

d Xdiwçrx = 5 — dx.

cos X X k

^ arc tang — = -^ ,

dx.

d arc sin — r-= -, - dx.

d arc cos -V- = - dx.

(A- constante).

Dans les trois dernières formules, nous prenons pour

arc sin — ^ et arc tang -j— les arcs qui s'annulent avec Xy pour

A' ri

arc cos -j- l'arc qui est égal à —^ pour x = 0. Nous conserverons ces conventions dans tout le cours de l'ouvrage. ,, k — x 2 A- ,

rf log (^ + t/?+T) = ^^== '^■'■>

où Z est une constante positive ou négative.

■l'i COURS D'ANALYSE

14. Différentielles d'ordre supérieur. — Soit ij une fonction de la variable indépendante x

on a

dy=f{x)dx.

Cette différentielle première dy est une fonction de^ et de dx. On convient de regarder V accroissement dx, attribué à la s>ariahle indépendante, comme une constante indépendante de x. Alors dy devient une fonction de x qui admet à son tour une différentielle ; la différentielle de dy, d[dy), est, par définition, égale à la dérivée de dy qui est f"[x)dx multipliée par l'accroissement dx attribué à x :

d{dy)=r(,r)d.v^

Afin d'abréger l'écriture, on emploie la notation d^y pour désigner d(ily) et on a, pour expression de \ii différentielle seconde de y

dhj =^ f" {x) dxK

Cette différentielle est, à son tour, une fonction de x dont la nouvelle différentielle est

dhj = f"'{x)dx\

car dx est constant; on a ainsi l'expression de la différentielle troisième. On obtient de même, n étant un entier positif,

d''y = p'^ ix) dx'\

Inversement, les dérivées successives de y par rapport à x s'écriront avec la notation différentielle :

dx ' d'y

/=rw=,,.,

,An) ^ An) UA ==, JllL