V^^IX

d'abscisses

et les points symétriques

A', d*abscisscs

Bi B,

B Fig. 6o.

Si on connaît la courbe entre les ordonnées ^les points A' et A, on la connaît pour toutes les valeurs de .r, car la relation

montre que Tordonnéc est In même aux points correspondants de tous les segments A' A, A A,, A, A,, ... C'est là un fait analogue à celui qui se présente pour la sinusoïde, dont il suffit d'avoir tracé une ondulation autre — i: et -h" pour pouvoir construire

s / /; / /; > TRIGOSO ME TRIQ U E S 2 1 3

toute lu courbe en transportant le long de Ox la même ondulation.

Construisons donc la courbe donnée entre les ordonnées des points iV et A, c'est-à-dire pour jc compris entre — t: et -j-::.

Dans cet intervalle, la somme de la série est égale h -^ , et

l'ordonnée y de la courbe est identique à Tordonnée

du segment de droite B'B, passant par O et ayant pour coefficient angulaire— . La courbe est donc formée de ce segment

de droite entre les limites — tz et-\-7:y c'est-à-dire entre les droites A'B' et AB. Quand x est égal à 7: — s, £ étant positif et très petit, l'ordonnée de la courbe est égale à celle de la droite, quelque petit que soit s; mais pour

l'ordonnée de la droite est -^ = AB et celle de la courbe est 0.

Il y a donc, dans la courbe, une discontinuité pour x = r^. De même, pour x voisin de — 7:

X= TT-f- £,

l'ordonnée de la courbe est égale à celle de la droite B'B ; mais pour

l'ordonnée de la droite est A'B', celle de la courbe 0. En résumé dans l'intervalle de — 7: à -j-r, la courbe

se confond avec le segment de droite B'B, mais elle s'en sépare brusquement aux limites. Elle se compose de tous les points de la droite B'B situés entre les extrémités, mais les points obtenus pourar=db7t ne sont pas les extrémités B' et B; ce sont les points A' et A.

•il4 COURS D'ANALYSE

La Ibnctioii

étant ainsi représentée graphiquement dans l'intervalle de — t: -j-t:, il suffit, pour avoir la représentation graphique de cette fonction dans tout intervalle, de reproduire périodiquement le même tracé entre les points AA,, A^A^, ..., A' A',, A'^A', ... comme le montre la figure 60. La courbe

se compose donc d'une infinité de segments de droites égaux et parallèles B'B, BB,, B,Bj ... et des points A', A, A,, A^ ..., les extrémités de ces segments n'appartenant pas à la courbe et devant être remplacés par les points A', A, A,,...

On voit bien, par cette discussion détaillée, comment la série

trouvée représente la fonction -:y entre les limites — t: et -[- t:.

HEMAitQUE. — L'exemple (jue nous venons de traiter nous montre que l'on ne peut pas toujours difï'érentier les séries trigonométriques.

En eflet, si on prenait les dérivées des divers termes de la série (3), on aurait la série

cos.r — cos 2 j:-4-<*t)s 3.r — ,

qui est manifestement divergente, car le terme général cosw.r ne tend pas vers zéro.

125. AuTHE EXEMPLE. Développement de j- . — On pourra applicpier, de même, la méthode générale au développement de -7- . Les intégrales donnant les coefficients se calculeront facilement h l'aide de l'intégration par parties.

Mais, nous pouvons déduire ce développement de celui de — .

.r 1 1 (3) ^ = sin ;r ~ sin 2 .r -h — sin 3 .r — ,

en admettant que, pour intégrer une série trigonométriqùe, il

> /. /; / /. s / /; / o' o y o M Ï-: T m que s a 1 5

sullit (linlciirt r U'iine ii terme. On a ainsi, m iiiU'jri'ant les deux membres de (3) et désignant par a^ une constante d'intégration,

- — = 11^ — cos .r -f- -rj^ t'os 1 x ^^ cos .> jc -|- ,

oîi il reste ii détorniiiiei' a^. Pour cela, d'après la méthode générale, on multiplie les deux membres par d.r et on intègre de — tz a-j--. On a alors, puisque toutes les intégrales du deuxième membre sont nulles, sauf la première,

Donc

pr COS X -\- -TyT cos 2 X — cos 3 .r -f-.

Aftut'llement, la fonction développée en série est

La série est égale h f[x)y entre les limites — t: et -+-::. Aux limites, la série prend la valeur

mais, comme

la série pour .r=zbr: est égale à la fonction. Le développement est donc valable pour

Si l'on construit la courbe

-'- l 1 . //= j.. — cos ,r + -TTj cos 2 .r :rjCos3.r-j- »

2i6 COURS D'ASALYSE

cette courbe, dans l'intervalle — t: ii H-t: et aux limites de Tintervalle, coïncide avec l'arc de parabole B'OB (fig. 61).

^ A yk

JKA.A

Fig. 6i.

La courbe tout entière s'obtient en répétant indéfiniment le même arc de parabole dans tous les intervalles (t:, 3 t:) (3?:, 5 tt),... etc. Les points B', B,... sont des points anguleux.